题目
4、已知某炼铁厂铁水含碳量服从正态分布N(4.40,0.052)，现在测定了5炉铁水，其含碳量为4.34，4.40，4.42，4.30，4.35，如果估计期望没有变化，可否认为现在生产之铁水含碳量方差为0.052(alpha=0.05)？
4、已知某炼铁厂铁水含碳量服从正态分布$N(4.40,0.052)$，现在测定了5炉铁水，其含碳量为4.34，4.40，4.42，4.30，4.35，如果估计期望没有变化，可否认为现在生产之铁水含碳量方差为0.052($\alpha=0.05$)？
题目解答
答案
已知总体均值 $\mu = 4.40$，总体方差 $\sigma_0^2 = 0.05^2 = 0.0025$，样本数据为 $4.34, 4.40, 4.42, 4.30, 4.35$。
计算样本方差 $S^2$：
\[
S^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2 = 0.00232
\]
计算检验统计量 $\chi^2$：
\[
\chi^2 = \frac{(n-1)S^2}{\sigma_0^2} = 3.712
\]
对于 $\alpha = 0.05$，自由度 $df = 4$，查表得临界值 $\chi^2_{0.025,4} = 11.143$ 和 $\chi^2_{0.975,4} = 0.484$。
由于 $0.484 < 3.712 < 11.143$，不拒绝原假设。
**答案：可以认为现在生产之铁水含碳量方差为 $0.05^2$。**
解析
步骤 1：计算样本均值 $\overline{X}$
样本数据为 $4.34, 4.40, 4.42, 4.30, 4.35$，样本均值 $\overline{X}$ 为：
\[ \overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i = \frac{4.34 + 4.40 + 4.42 + 4.30 + 4.35}{5} = 4.362 \]
步骤 2：计算样本方差 $S^2$
样本方差 $S^2$ 为：
\[ S^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2 = \frac{1}{4} \left[ (4.34 - 4.362)^2 + (4.40 - 4.362)^2 + (4.42 - 4.362)^2 + (4.30 - 4.362)^2 + (4.35 - 4.362)^2 \right] = 0.00232 \]
步骤 3：计算检验统计量 $\chi^2$
检验统计量 $\chi^2$ 为：
\[ \chi^2 = \frac{(n-1)S^2}{\sigma_0^2} = \frac{4 \times 0.00232}{0.0025} = 3.712 \]
步骤 4：确定临界值
对于 $\alpha = 0.05$，自由度 $df = 4$，查表得临界值 $\chi^2_{0.025,4} = 11.143$ 和 $\chi^2_{0.975,4} = 0.484$。
步骤 5：判断是否拒绝原假设
由于 $0.484 < 3.712 < 11.143$，不拒绝原假设。
样本数据为 $4.34, 4.40, 4.42, 4.30, 4.35$，样本均值 $\overline{X}$ 为：
\[ \overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i = \frac{4.34 + 4.40 + 4.42 + 4.30 + 4.35}{5} = 4.362 \]
步骤 2：计算样本方差 $S^2$
样本方差 $S^2$ 为：
\[ S^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2 = \frac{1}{4} \left[ (4.34 - 4.362)^2 + (4.40 - 4.362)^2 + (4.42 - 4.362)^2 + (4.30 - 4.362)^2 + (4.35 - 4.362)^2 \right] = 0.00232 \]
步骤 3：计算检验统计量 $\chi^2$
检验统计量 $\chi^2$ 为：
\[ \chi^2 = \frac{(n-1)S^2}{\sigma_0^2} = \frac{4 \times 0.00232}{0.0025} = 3.712 \]
步骤 4：确定临界值
对于 $\alpha = 0.05$，自由度 $df = 4$，查表得临界值 $\chi^2_{0.025,4} = 11.143$ 和 $\chi^2_{0.975,4} = 0.484$。
步骤 5：判断是否拒绝原假设
由于 $0.484 < 3.712 < 11.143$，不拒绝原假设。