题目
已知随机变量X，Y的概率分布分别为P(X=一1)=dfrac (1)(4) |X=0|=dfrac (1)(2), |X=1} =dfrac (1)(4), Y=0 =dfrac (1)(4) |Y=1|=dfrac (1)(2) |Y=2|=dfrac (1)(4),并且P(X+Y=1)=1，求：（Ⅰ）（X，Y）的联合分布；（Ⅱ）X与Y是否独立？为什么？
已知随机变量X，Y的概率分布分别为P{X=一1}=
并且P{X+Y=1}=1，求：
（Ⅰ）（X，Y）的联合分布；
（Ⅱ）X与Y是否独立？为什么？
并且P{X+Y=1}=1，求：
（Ⅰ）（X，Y）的联合分布；
（Ⅱ）X与Y是否独立？为什么？题目解答
答案
（Ⅰ）根据题设P{X+Y=1}=1，即P{X=一1，Y=2}+JP{X=0，Y=1}+P{X=1，Y=0}=1，故其余分布值均为零，即P{X=一1，Y=0}=P{X=一1，Y=1}=P{X=0，Y=0}
=P{X=0，Y=2}=P{X=1，Y=1}=P{X=1，Y=2}=0，由此可求得联合分布为
（Ⅱ）因为P{X=一1，Y=0}=0≠P{X=一1}P{Y=0}=
故X与Y不独立。
解析
步骤 1：确定联合分布
根据题设条件，P{X+Y=1}=1，即P{X=一1，Y=2}+P{X=0，Y=1}+P{X=1，Y=0}=1。由此可以确定联合分布中非零的项，其余项均为零。
步骤 2：计算联合分布
根据步骤1的分析，可以得到联合分布如下：
Y x $0$ 1 2 $P|X=i|$ -1 0 0 $\dfrac {1}{4}$ $\dfrac {1}{4}$ 0 0 $\dfrac {1}{2}$ 0 $\dfrac {1}{2}$ 1 $\dfrac {1}{4}$ 0 0 1/4 P|Y=j| $\dfrac {1}{4}$ $\dfrac {1}{2}$ $\dfrac {1}{4}$
步骤 3：判断独立性
根据独立性的定义，如果P{X=i，Y=j}=P{X=i}P{Y=j}对所有i和j成立，则X和Y独立。否则，X和Y不独立。根据步骤2的联合分布，可以发现P{X=一1，Y=0}=0≠P{X=一1}P{Y=0}=$\dfrac {1}{4}\times \dfrac {1}{4}=\dfrac {1}{16}$，因此X和Y不独立。
根据题设条件，P{X+Y=1}=1，即P{X=一1，Y=2}+P{X=0，Y=1}+P{X=1，Y=0}=1。由此可以确定联合分布中非零的项，其余项均为零。
步骤 2：计算联合分布
根据步骤1的分析，可以得到联合分布如下：
Y x $0$ 1 2 $P|X=i|$ -1 0 0 $\dfrac {1}{4}$ $\dfrac {1}{4}$ 0 0 $\dfrac {1}{2}$ 0 $\dfrac {1}{2}$ 1 $\dfrac {1}{4}$ 0 0 1/4 P|Y=j| $\dfrac {1}{4}$ $\dfrac {1}{2}$ $\dfrac {1}{4}$
步骤 3：判断独立性
根据独立性的定义，如果P{X=i，Y=j}=P{X=i}P{Y=j}对所有i和j成立，则X和Y独立。否则，X和Y不独立。根据步骤2的联合分布，可以发现P{X=一1，Y=0}=0≠P{X=一1}P{Y=0}=$\dfrac {1}{4}\times \dfrac {1}{4}=\dfrac {1}{16}$，因此X和Y不独立。