8.求极限：lim_(xto+infty)x(sqrt(x^2)+1-x)

本题考查函数极限的计算，解题思路是先对原式进行有理化，消除根式，然后通过化简式子，再分子分母同除以自变量的最高次幂，将极限转化为可直接计算的形式。

1. 有理化原式：
   为了消除原式中的根式，我们利用平方差公式$(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$，给原式分子分母同时乘以$\sqrt{x^2 + 1} + x$，得到：
   $\lim_{x \to +\infty} x\left(\sqrt{x^2 + 1} - x\right) = \lim_{x \to +\infty} \frac{x\left(\sqrt{x^2 + 1} - x\right)\left(\sqrt{x^2 + 1} + x\right)}{\sqrt{x^2 + 1} + x}$
   根据平方差公式，分子$x\left(\sqrt{x^2 + 1} - x\right)\left(\sqrt{x^2 + 1} + x\right)=x\left[\left(\sqrt{x^2 + 1}\right)^2 - x^2\right]$，即：
   $\lim_{x \to +\infty} \frac{x\left[\left(\sqrt{x^2 + 1}\right)^2 - x^2\right]}{\sqrt{x^2 + 1} + x}=\lim_{x \to +\infty} \frac{x(x^2 + 1 - x^2)}{\sqrt{x^2 + 1} + x}=\lim_{x \to +\infty} \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1} + x}$
2. 分子分母同除以$x$：
   当$x\to +\infty$时，分子分母都趋于无穷大，为了计算极限，我们分子分母同时除以$x$，得到：
   $\lim_{x \to +\infty} \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1} + x}=\lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{x}{x}}{\frac{\sqrt{x^2 + 1}}{x} + \frac{x}{x}}=\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{x^2 + 1}{x^2}} + 1}=\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{x^2}} + 1}$
3. 计算极限：
   当$x\to +\infty$时，$\frac{1}{x^2}\to 0$，所以：
   $\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{x^2}} + 1} = \frac{1}{\sqrt{1 + 0} + 1} = \frac{1}{2}$