9 单选 (10分) 设随机变量X,Y相互独立，且X服从正态分布N(0,(sigma_{1)}^2),Y服从正态分布N(0,(sigma_{2)}^2),则关于概率P(|X-Y|A. 随σ₁的增加而增加，随σ₂的减小而减小B. 随σ₁的增加而减小，随σ₂的减小而增加C. 随σ₁和σ₂的减小而增加D. 随σ₁和σ₂的增加而减小

考查要点：本题主要考查独立正态变量之差的分布性质，以及概率随方差变化的单调性分析。

解题核心思路：

1. 确定差变量的分布：由独立正态变量的性质，$Z = X - Y$ 服从 $N(0, \sigma_1^2 + \sigma_2^2)$。
2. 标准化转换：将概率 $P(|Z| < 1)$ 转换为标准正态分布的概率，关键量为 $\frac{1}{\sqrt{\sigma_1^2 + \sigma_2^2}}$。
3. 单调性分析：标准正态分布函数 $\Phi(z)$ 的单调性决定了概率随 $\sigma_1$ 和 $\sigma_2$ 的变化趋势。

破题关键点：

• 方差增大导致概率减小：$\sigma_1$ 或 $\sigma_2$ 增大时，$\frac{1}{\sqrt{\sigma_1^2 + \sigma_2^2}}$ 减小，概率减小。
• 方差减小导致概率增大：$\sigma_1$ 或 $\sigma_2$ 减小时，$\frac{1}{\sqrt{\sigma_1^2 + \sigma_2^2}}$ 增大，概率增大。

设 $Z = X - Y$，则 $Z \sim N(0, \sigma_1^2 + \sigma_2^2)$。概率 $P(|X - Y| < 1)$ 可表示为：
$P\left(-\frac{1}{\sqrt{\sigma_1^2 + \sigma_2^2}} < \frac{Z}{\sqrt{\sigma_1^2 + \sigma_2^2}} < \frac{1}{\sqrt{\sigma_1^2 + \sigma_2^2}}\right)$
其中，$\frac{Z}{\sqrt{\sigma_1^2 + \sigma_2^2}}$ 服从标准正态分布。根据标准正态分布函数 $\Phi(z)$ 的单调性：

• $\frac{1}{\sqrt{\sigma_1^2 + \sigma_2^2}}$ 越大，概率 越大；
• $\sigma_1$ 或 $\sigma_2$ 增大时，$\sigma_1^2 + \sigma_2^2$ 增大，$\frac{1}{\sqrt{\sigma_1^2 + \sigma_2^2}}$ 减小，概率 减小；
• $\sigma_1$ 或 $\sigma_2$ 减小时，$\frac{1}{\sqrt{\sigma_1^2 + \sigma_2^2}}$ 增大，概率 增大。

选项分析：

• A：随 $\sigma_1$ 增加而增加（错误，应减小），随 $\sigma_2$ 减小而减小（错误，应增加）。
• B：随 $\sigma_1$ 增加而减小，随 $\sigma_2$ 减小而增加（正确）。
• C：随 $\sigma_1$ 和 $\sigma_2$ 减小而增加（正确）。
• D：随 $\sigma_1$ 和 $\sigma_2$ 增加而减小（正确）。