题目

设总体 X sim N(mu_1, sigma_1^2), Y sim N(mu_2, sigma_2^2) 相互独立，样本容量分别为 n_1, n_2，样本方差分别为 s_1^2, s_2^2，在显著性水平 alpha 下，检验 H_0: sigma_1^2 geq sigma_2^2, H_1: sigma_1^2 < sigma_2^2 的拒绝域为(). A. (s_2^2)/(s_1^2) geq F_alpha(n_2-1, n_1-1);B. (s_2^2)/(s_1^2) geq F_(1-(alpha)/(2))(n_2-1, n_1-1);C. (s_2^2)/(s_1^2) leq F_alpha(n_1-1, n_2-1);D. (s_2^2)/(s_1^2) leq F_(1-(alpha)/(2))(n_1-1, n_2-1).

设总体 $X \sim N(\mu_1, \sigma_1^2)$, $Y \sim N(\mu_2, \sigma_2^2)$ 相互独立，样本容量分别为 $n_1$, $n_2$，样本方差分别为 $s_1^2$, $s_2^2$，在显著性水平 $\alpha$ 下，检验 $H_0: \sigma_1^2 \geq \sigma_2^2$, $H_1: \sigma_1^2 < \sigma_2^2$ 的拒绝域为().

  • A. $\frac{s_2^2}{s_1^2} \geq F_\alpha(n_2-1, n_1-1)$;
  • B. $\frac{s_2^2}{s_1^2} \geq F_{1-\frac{\alpha}{2}}(n_2-1, n_1-1)$;
  • C. $\frac{s_2^2}{s_1^2} \leq F_\alpha(n_1-1, n_2-1)$;
  • D. $\frac{s_2^2}{s_1^2} \leq F_{1-\frac{\alpha}{2}}(n_1-1, n_2-1)$.

题目解答

答案

检验假设 $ H_0: \sigma_1^2 \geq \sigma_2^2 $ 对 $ H_1: \sigma_1^2 < \sigma_2^2 $，构造统计量 $ F = \frac{s_2^2}{s_1^2} $。在 $ H_0 $ 下，$ F $ 服从 $ F(n_2-1, n_1-1) $ 分布。 对于左侧备择假设，拒绝域为 $ F $ 值较大，即 \[ \frac{s_2^2}{s_1^2} \geq F_\alpha(n_2-1, n_1-1) \] 对应选项 **A**。 答案：$\boxed{A}$

解析

考查要点：本题主要考查方差的F检验，特别是左侧检验的拒绝域构造方法。

解题核心思路：

  1. 确定检验类型：原假设 $H_0: \sigma_1^2 \geq \sigma_2^2$，备择假设 $H_1: \sigma_1^2 < \sigma_2^2$，属于左侧检验。
  2. 构造统计量：在 $H_0$ 成立时，统计量 $F = \frac{s_2^2}{s_1^2}$ 服从自由度为 $(n_2-1, n_1-1)$ 的 $F$ 分布。
  3. 确定拒绝域：左侧检验的拒绝域对应统计量过大的情况，即 $F \geq F_\alpha(n_2-1, n_1-1)$。

破题关键点：

  • F分布的自由度：分子自由度对应分子方差的样本（$s_2^2$，自由度 $n_2-1$），分母自由度对应分母方差的样本（$s_1^2$，自由度 $n_1-1$）。
  • 临界值的选择：左侧检验直接使用上分位数 $F_\alpha$，而非双侧检验的 $F_{1-\alpha/2}$。

步骤1：构造统计量

在 $H_0: \sigma_1^2 \geq \sigma_2^2$ 成立时，统计量定义为：
$F = \frac{s_2^2}{s_1^2}$
此时 $F$ 服从自由度为 $(n_2-1, n_1-1)$ 的 $F$ 分布。

步骤2：确定拒绝域形式

备择假设 $H_1: \sigma_1^2 < \sigma_2^2$ 表明，若 $\sigma_2^2$ 显著大于 $\sigma_1^2$，则 $F = \frac{s_2^2}{s_1^2}$ 会显著大于1。因此，拒绝域应为右侧区域，即：
$\frac{s_2^2}{s_1^2} \geq F_\alpha(n_2-1, n_1-1)$

步骤3：排除干扰选项

  • 选项B的 $F_{1-\frac{\alpha}{2}}$ 用于双侧检验，与左侧检验无关。
  • 选项C、D的自由度顺序颠倒，分母应为 $s_1^2$ 对应的自由度 $n_1-1$。