题目
某单位有 200 台 电话分机每台分机使用外线的 概率 0.2 假定每台分机是相互独立的 问要安装多少条外线才能以 95 % 以上的概率保证分机用外线时不等待 ( 已知 (1.65) = 0.95 )
某单位有 200 台 电话分机每台分机使用外线的 概率 0.2 假定每台分机是相互独立的 问要安装多少条外线才能以 95 % 以上的概率保证分机用外线时不等待 ( 已知 
= 0.95 )
题目解答
答案
本题题意明显是一个二项分布，根据中心极限定理的推论可将原题意近似看作正态分布。
要安装50条外线才能以 95 % 以上的概率保证分机用外线时不等待
解析
步骤 1：确定问题类型
问题描述了一个二项分布，其中每台分机使用外线的概率为0.2，共有200台分机。根据中心极限定理，当样本量足够大时，二项分布可以近似为正态分布。
步骤 2：计算期望值和方差
对于二项分布，期望值 \(EX = np\)，方差 \(DX = np(1-p)\)，其中 \(n\) 是试验次数，\(p\) 是每次试验成功的概率。
- \(EX = 200 \times 0.2 = 40\)
- \(DX = 200 \times 0.2 \times 0.8 = 32\)
步骤 3：标准化并求解
将二项分布标准化为正态分布，即 \(\frac{X - EX}{\sqrt{DX}} \sim N(0,1)\)。
- 标准化后的变量为 \(\frac{X - 40}{\sqrt{32}}\)
- 要求 \(P(X \leq x) \geq 0.95\)，即 \(\frac{x - 40}{\sqrt{32}} \geq 1.65\)（因为已知 \(\Phi(1.65) = 0.95\)）
- 解得 \(x \geq 1.65 \times \sqrt{32} + 40\)
- 计算 \(x \geq 1.65 \times 4\sqrt{2} + 40 \approx 50\)
问题描述了一个二项分布，其中每台分机使用外线的概率为0.2，共有200台分机。根据中心极限定理，当样本量足够大时，二项分布可以近似为正态分布。
步骤 2：计算期望值和方差
对于二项分布，期望值 \(EX = np\)，方差 \(DX = np(1-p)\)，其中 \(n\) 是试验次数，\(p\) 是每次试验成功的概率。
- \(EX = 200 \times 0.2 = 40\)
- \(DX = 200 \times 0.2 \times 0.8 = 32\)
步骤 3：标准化并求解
将二项分布标准化为正态分布，即 \(\frac{X - EX}{\sqrt{DX}} \sim N(0,1)\)。
- 标准化后的变量为 \(\frac{X - 40}{\sqrt{32}}\)
- 要求 \(P(X \leq x) \geq 0.95\)，即 \(\frac{x - 40}{\sqrt{32}} \geq 1.65\)（因为已知 \(\Phi(1.65) = 0.95\)）
- 解得 \(x \geq 1.65 \times \sqrt{32} + 40\)
- 计算 \(x \geq 1.65 \times 4\sqrt{2} + 40 \approx 50\)