题目

设有枚非均匀硬币，抛掷一次时其正面出现的概率为p，现为估计参数p，进行n次独立重复抛掷。下面结论正确的有几个: ①总体是抛一次硬币出现的正面次数X，X服从两点分布； ②总体是n次抛掷中出现的正面次数X，X服从两点分布； ③样本独立同分布； ④样本是第i次抛掷出现的正面次数； A. 2个B. 4个C. 3个D. 1个

设有枚非均匀硬币，抛掷一次时其正面出现的概率为$p$，现为估计参数$p$，进行$n$次独立重复抛掷。下面结论正确的有几个:

①总体是抛一次硬币出现的正面次数$X$，$X$服从两点分布；
②总体是$n$次抛掷中出现的正面次数$X$，$X$服从两点分布；
③样本独立同分布；
④样本是第i次抛掷出现的正面次数；

A. 2个
B. 4个
C. 3个
D. 1个

题目解答

答案

为了确定正确的结论数量，让我们逐步分析每个陈述。 1. **陈述①: 总体是抛一次硬币出现的正面次数 $X$，$X$ 服从两点分布。** 这个陈述是正确的。当抛掷一枚硬币时，出现的正面次数 $X$ 可以是0（反面）或1（正面）。因此，$X$ 服从两点分布，其中 $P(X = 1) = p$ 和 $P(X = 0) = 1 - p$。 2. **陈述②: 总体是n次抛掷中出现的正面次数 $X$，$X$ 服从两点分布。** 这个陈述是不正确的。n次抛掷中出现的正面次数 $X$ 可以是0, 1, 2, ..., n。因此，$X$ 服从二项分布，其中 $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$ 对于 $k = 0, 1, 2, ..., n$。它不服从两点分布。 3. **陈述③: 样本独立同分布。** 这个陈述是正确的。在n次独立重复抛掷中，每次抛掷的结果是独立的，且分布相同（两点分布，其中 $P(X = 1) = p$ 和 $P(X = 0) = 1 - p$）。 4. **陈述④: 样本是第i次抛掷出现的正面次数。** 这个陈述是正确的。样本由n次抛掷的结果组成，其中每次结果是第i次抛掷出现的正面次数（要么是0，要么是1）。根据分析，正确的结论是①，③和④。因此，正确的结论数量是3。答案是 $\boxed{C}$。

解析

本题主要考查总体、样本、两点分布、二项分布以及样本的独立性和同分布性等知识点。解题思路是根据这些概念的定义，逐一分析分析每个结论是否正确。

分析分析结论①
- 结论①：
  总体是研究对象的全体。在在本题中，研究的是抛一次硬币出现正面的情况，抛一次硬币出现的正面次数$X$，其取值只有$0$（反面）和$1$（正面）两种情况。
- 分布判断：
  根据两点分布的定义，若随机变量$X$只取两个可能的值$x_1$和$x_2$，且$P(X = x_1)=p$，$\(0\lt p\lt1$ )，$P(X = x_2)=1 - p$，则称$X$服从两点分布。
  在抛硬币问题中，$P(X = 1)=p$，$P(X = 0)=1 - p$，所以$X$服从两点分布，故①正确。
分析结论②
- 总体定义：
  总体是抛一次硬币出现的正面次数，而不是$n$次抛掷中出现的正面次数。

分布判断：
$n$次抛掷中出现的正面次数$X$，其取值为$0,1,2,\cdots,n$。
根据二项分布的定义，在$n$次独立重复试验中，设事件$X$为事件$A$发生的次数，在每次试验中事件$A$发生的概率为$p$，那么在$n$次独立重复试验中，事件$A$恰好发生$k$次的概率为$P(X = k)=\binom{n}{k}p^{k}(1 - p)^{n - k}$，$k = 0,1,2,\cdots,n$。
所以$n$次抛掷中出现的正面次数$X$服从二项分布$B(n,p)$，不服从两点分布，故②错误。

分析结论③

独立性判断依据：
样本是从总体中抽取的一部分个体。在本题中，进行$n$次独立重复抛掷，每次抛掷的结果相互独立，且每次抛掷出现正面的概率都为$p$，出现反面的概率都为$1 - p$，即每次抛掷的分布相同。
所以样本独立同分布，故③正确。

分析结论④

样本定义判断：
样本是从总体中抽取的一部分用于观察和分析的个体。在本题中，进行$n$次独立重复抛掷，每次抛掷出现的正面次数（要么是$0$，要么是$1$）构成了样本，所以样本是第$i$次抛掷出现的正面次数，故④正确。