题目
设随机变量x的概率密度函数 f(x)=} cx^3, & 0 leq x leq 2 0, & (其他) 下列选项中正确的是(）。 A. c=1B. c=1/2C. c=1/4D. c=4
设随机变量x的概率密度函数
$f(x)=\begin{cases} cx^3, & 0 \leq x \leq 2 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$
下列选项中正确的是(）。
- A. $c=1$
- B. $c=1/2$
- C. $c=1/4$
- D. $c=4$
题目解答
答案
根据概率密度函数的性质，其在所有可能取值范围内的积分等于1。对于给定的函数 $f(x) = \begin{cases} cx^3, & 0 \leq x \leq 2 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$，有：
\[
\int_{0}^{2} cx^3 \, dx = 1
\]
计算积分得：
\[
c \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{2} = c \left( \frac{2^4}{4} - 0 \right) = 4c
\]
令其等于1，解得：
\[
4c = 1 \quad \Rightarrow \quad c = \frac{1}{4}
\]
**答案：C**
解析
步骤 1：确定积分范围
根据题目中给出的概率密度函数 $f(x)$，其在 $0 \leq x \leq 2$ 的范围内非零，因此积分范围为 $0$ 到 $2$。
步骤 2：计算积分
根据概率密度函数的性质，其在所有可能取值范围内的积分等于1。因此，我们有： \[ \int_{0}^{2} cx^3 \, dx = 1 \] 计算积分得： \[ c \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{2} = c \left( \frac{2^4}{4} - 0 \right) = 4c \]
步骤 3：求解常数 $c$
令积分结果等于1，解得： \[ 4c = 1 \quad \Rightarrow \quad c = \frac{1}{4} \]
根据题目中给出的概率密度函数 $f(x)$，其在 $0 \leq x \leq 2$ 的范围内非零，因此积分范围为 $0$ 到 $2$。
步骤 2：计算积分
根据概率密度函数的性质，其在所有可能取值范围内的积分等于1。因此，我们有： \[ \int_{0}^{2} cx^3 \, dx = 1 \] 计算积分得： \[ c \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{2} = c \left( \frac{2^4}{4} - 0 \right) = 4c \]
步骤 3：求解常数 $c$
令积分结果等于1，解得： \[ 4c = 1 \quad \Rightarrow \quad c = \frac{1}{4} \]