题目
设总体 X sim N(mu, sigma^2)，sigma^2 已知，X_1, X_2, ldots, X_n 为来自总体 X 的样本，overline(X) 为样本均值，z_(alpha/2) 为标准正态分布的上 (alpha)/(2) 分位点，则 mu 的置信水平为 1-alpha 的置信区间是（） A (overline(X) - z_(alpha) (sigma)/(sqrt(n)), overline(X) + z_(alpha) (sigma)/(sqrt(n))) B (overline(X) - t_(alpha/2)(n-1)(S)/(sqrt(n)), overline(X) + t_(alpha/2)(n-1)(S)/(sqrt(n))) C (overline(X) - z_(alpha/2) (sigma)/(sqrt(n)), overline(X) + z_(alpha/2) (sigma)/(sqrt(n))) D (overline(X) - t_(alpha)(n-1)(S)/(sqrt(n)), overline(X) + t_(alpha)(n-1)(S)/(sqrt(n)))
设总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，$\sigma^2$ 已知，$X_1, X_2, \ldots, X_n$ 为来自总体 $X$ 的样本，$\overline{X}$ 为样本均值，$z_{\alpha/2}$ 为标准正态分布的上 $\frac{\alpha}{2}$ 分位点，则 $\mu$ 的置信水平为 $1-\alpha$ 的置信区间是（）
A ($\overline{X} - z_{\alpha} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \overline{X} + z_{\alpha} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$)
B ($\overline{X} - t_{\alpha/2}(n-1)\frac{S}{\sqrt{n}}, \overline{X} + t_{\alpha/2}(n-1)\frac{S}{\sqrt{n}}$)
C ($\overline{X} - z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \overline{X} + z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$)
D ($\overline{X} - t_{\alpha}(n-1)\frac{S}{\sqrt{n}}, \overline{X} + t_{\alpha}(n-1)\frac{S}{\sqrt{n}}$)
题目解答
答案
为了确定总体均值 $\mu$ 的置信水平为 $1-\alpha$ 的置信区间，已知总体方差 $\sigma^2$，我们使用以下步骤：
1. **确定枢轴量**：由于总体方差 $\sigma^2$ 已知，枢轴量是：
\[
Z = \frac{\overline{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}
\]
其中 $\overline{X}$ 是样本均值，$n$ 是样本大小。枢轴量 $Z$ 服从标准正态分布 $N(0,1)$。
2. **找到临界值**：对于置信水平为 $1-\alpha$ 的置信区间，我们需要找到标准正态分布的上 $\alpha/2$ 分位点，记为 $z_{\alpha/2}$。这意味着：
\[
P(-z_{\alpha/2} \leq Z \leq z_{\alpha/2}) = 1 - \alpha
\]
3. **将枢轴量代回**：将 $Z$ 的表达式代入不等式中，我们得到：
\[
P\left(-z_{\alpha/2} \leq \frac{\overline{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} \leq z_{\alpha/2}\right) = 1 - \alpha
\]
4. **解出 $\mu$**：为了找到 $\mu$ 的置信区间，我们解不等式：
\[
-z_{\alpha/2} \leq \frac{\overline{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} \leq z_{\alpha/2}
\]
将所有项乘以 $\sigma / \sqrt{n}$，我们得到：
\[
-z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \leq \overline{X} - \mu \leq z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}
\]
从所有项中减去 $\overline{X}$，我们得到：
\[
-\overline{X} - z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \leq -\mu \leq -\overline{X} + z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}
\]
将所有项乘以 $-1$，我们得到：
\[
\overline{X} - z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \leq \mu \leq \overline{X} + z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}
\]
5. **结论**：$\mu$ 的置信水平为 $1-\alpha$ 的置信区间是：
\[
\left( \overline{X} - z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \overline{X} + z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)
\]
因此，正确答案是 $\boxed{C}$。