若a,b,c为△ABC三边,并且c为该三角形的最长边,则方程 cx^2+(a+b)x+(c)/(4)=0 的两实根x_(1),x_(2) 满足|x_(1)-x_(2)|=1.(1) △ABC为等腰三角形。(2) △ABC为直角三角形。A. 条件(1)充分,但条件(2)不充分B. 条件(2)充分,但条件(1)不充分C. 条件(1)和条件(2)单独都不充分,但条件(1)和条件(2)联合起来充分D. 条件(1)充分,条件(2)也充分E. 条件(1)和条件(2)单独都不充分,条件(1)和条件(2)联合起来也不充分

题目分析

本题为条件充分性判断题，核心是结合一元二次方程根的差与三角形性质（等腰、直角）的关系。已知$a,b,c$为$\triangle ABC$三边，$c$为最长边，方程$cx^2+(a+b)x+\frac{c}{4}=0$的两根$x_1,x_2$满足$|x_1-x_2|=1$，需判断条件(1)“$\triangle ABC$为等腰三角形”和条件(2)“$\triangle ABC$为直角直角三角形”是否充分。

关键公式推导

对于一元二次方程$Ax^2+Bx+C=0$，两根差的绝对值公式为：
$|x_1-x_2|=\frac{\sqrt{\Delta}}{|A|}$
其中判别式$\Delta=B^2-4AC$。

代入本题方程$cx^2+(a+b)x+\frac{c}{4}=0$，得：
$A=c,\quad B=a+b,\quad C=\frac{c}{4}$
$\Delta=(a+b)^2-4\cdot c\cdot\frac{c}{4}=(a+b)^2-c^2$
$|x_1-x_2|=\frac{\sqrt{(a+b)^2-c^2}}{c}=1$
两边平方化简：
$(a+b)^2-c^2=c^2\implies(a+b)^2=2c^2\implies a+b=\sqrt{2}c\quad(\text{因边长为正})$

条件(1)：$\triangle ABC$为等腰三角形

等腰三角形需$a=b$或$a=c$或$b=c$，但$c$为最长边，故$a=c$或$b=c$时$a=b=c$（等边三角形），此时$a+b=2c\neq\sqrt{2}c$，矛盾；若$a=b$，则$2a=\sqrt{2}c\implies a=\frac{\sqrt{2}}{2}c$，此时$a+b=\sqrt{2}c$，但$a+b=\sqrt{2}c\approx1.414c\lt c+c=2c$（三角形两边和大于第三边），但$a+b=\sqrt{2}c$是否满足？
反例：取$c=2$，$a=b=\sqrt{2}$，则$a+b=2\sqrt{2}\approx2.828$，$\sqrt{2}c\approx2.828$，但$a+b=\sqrt{2}c$时，$a^2+b^2=2+2=4=c^2$，实际为直角三角形，而非仅等腰三角形。故等腰三角形不一定满足$a+b=\sqrt{2}c$，条件(1)不充分。

条件(2)：$\triangle ABC$为直角三角形

直角三角形且$c$为最长边，则$a^2+b^2=c^2$。联立$a+b=\sqrt{2}c$：
$(a+b)^2=2c^2\implies a^2+2ab+b^2=2c^2$
代入$a^2+b^2=c^2$：
$c^2+2ab=2c^2\implies ab=\frac{c^2}{2}$
解得$a=b=\frac{\sqrt{2}}{2}c$，满足三角形条件（$a+b=\sqrt{2}c\gt c$），故直角三角形时必有$a+b=\sqrt{2}c$，条件(2)充分。