题目
() 3、设随机变量X和Y的相关系数 (rho )_(xx)=0 ,则下列结论不一定成立的是-|||-(A) D(X-Y)=D(X)+D(Y) ;-|||-(B) Cov(X,Y)=0 ;-|||-(C)X和Y相互独立;-|||-(D) (XX)=E(X)E(Y)
题目解答
答案
C. X和Y相互独立;
解析
步骤 1：理解相关系数的定义
相关系数 ${\rho }_{XY}$ 定义为：${\rho }_{XY}=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)D(Y)}}$，其中 $Cov(X,Y)$ 是X和Y的协方差，$D(X)$ 和 $D(Y)$ 分别是X和Y的方差。
步骤 2：分析相关系数为零的含义
当 ${\rho }_{XY}=0$ 时，意味着 $Cov(X,Y)=0$，即X和Y不相关。不相关意味着X和Y的线性关系不存在，但并不意味着X和Y相互独立。
步骤 3：分析选项
(A) D(X-Y)=D(X)+D(Y)：当X和Y不相关时，$D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2Cov(X,Y)=D(X)+D(Y)$，因此A选项正确。
(B) Cov(X,Y)=0：由相关系数的定义，当 ${\rho }_{XY}=0$ 时，$Cov(X,Y)=0$，因此B选项正确。
(C) X和Y相互独立：不相关并不意味着相互独立，因此C选项不一定成立。
(D) $E(XX)=E(X)E(Y)$：当X和Y不相关时，$Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0$，因此 $E(XY)=E(X)E(Y)$，所以D选项正确。
相关系数 ${\rho }_{XY}$ 定义为：${\rho }_{XY}=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)D(Y)}}$，其中 $Cov(X,Y)$ 是X和Y的协方差，$D(X)$ 和 $D(Y)$ 分别是X和Y的方差。
步骤 2：分析相关系数为零的含义
当 ${\rho }_{XY}=0$ 时，意味着 $Cov(X,Y)=0$，即X和Y不相关。不相关意味着X和Y的线性关系不存在，但并不意味着X和Y相互独立。
步骤 3：分析选项
(A) D(X-Y)=D(X)+D(Y)：当X和Y不相关时，$D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2Cov(X,Y)=D(X)+D(Y)$，因此A选项正确。
(B) Cov(X,Y)=0：由相关系数的定义，当 ${\rho }_{XY}=0$ 时，$Cov(X,Y)=0$，因此B选项正确。
(C) X和Y相互独立：不相关并不意味着相互独立，因此C选项不一定成立。
(D) $E(XX)=E(X)E(Y)$：当X和Y不相关时，$Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0$，因此 $E(XY)=E(X)E(Y)$，所以D选项正确。