题目
设 X_1, X_2, X_3 是相互独立的随机变量，且 E(X_i)=1，D(X_i)=8（i=1,2,3），令 overline(X)=(1)/(3)(X_1+X_2+X_3) ，则估计 P(|overline(X)-1|A. (5)/(6)B. (5)/(7)C. (5)/(8)D. 以上都不对
设 $X_1, X_2, X_3$ 是相互独立的随机变量，且 $E(X_i)=1$，$D(X_i)=8$（$i=1,2,3$），令 $\overline{X}=\frac{1}{3}(X_1+X_2+X_3)$ ，则估计 $P(|\overline{X}-1|< 4)$ $\geq$（）
A. $\frac{5}{6}$
B. $\frac{5}{7}$
C. $\frac{5}{8}$
D. 以上都不对
题目解答
答案
A. $\frac{5}{6}$
解析
步骤 1：计算 $\overline{X}$ 的期望值
由于 $X_1, X_2, X_3$ 是相互独立的随机变量，且 $E(X_i)=1$，则 $\overline{X}=\frac{1}{3}(X_1+X_2+X_3)$ 的期望值为：
\[ E(\overline{X}) = E\left(\frac{1}{3}(X_1+X_2+X_3)\right) = \frac{1}{3}(E(X_1)+E(X_2)+E(X_3)) = \frac{1}{3}(1+1+1) = 1. \]
步骤 2：计算 $\overline{X}$ 的方差
由于 $X_1, X_2, X_3$ 是相互独立的随机变量，且 $D(X_i)=8$，则 $\overline{X}=\frac{1}{3}(X_1+X_2+X_3)$ 的方差为：
\[ D(\overline{X}) = D\left(\frac{1}{3}(X_1+X_2+X_3)\right) = \frac{1}{9}(D(X_1)+D(X_2)+D(X_3)) = \frac{1}{9}(8+8+8) = \frac{8}{3}. \]
步骤 3：利用切比雪夫不等式
根据切比雪夫不等式，对于任意随机变量 $X$ 和任意正数 $k$，有：
\[ P(|X - E(X)| \geq k) \leq \frac{D(X)}{k^2}. \]
将 $\overline{X}$ 代入，得到：
\[ P(|\overline{X} - 1| \geq 4) \leq \frac{D(\overline{X})}{4^2} = \frac{\frac{8}{3}}{16} = \frac{1}{6}. \]
因此，$P(|\overline{X} - 1| < 4) \geq 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$。
由于 $X_1, X_2, X_3$ 是相互独立的随机变量，且 $E(X_i)=1$，则 $\overline{X}=\frac{1}{3}(X_1+X_2+X_3)$ 的期望值为：
\[ E(\overline{X}) = E\left(\frac{1}{3}(X_1+X_2+X_3)\right) = \frac{1}{3}(E(X_1)+E(X_2)+E(X_3)) = \frac{1}{3}(1+1+1) = 1. \]
步骤 2：计算 $\overline{X}$ 的方差
由于 $X_1, X_2, X_3$ 是相互独立的随机变量，且 $D(X_i)=8$，则 $\overline{X}=\frac{1}{3}(X_1+X_2+X_3)$ 的方差为：
\[ D(\overline{X}) = D\left(\frac{1}{3}(X_1+X_2+X_3)\right) = \frac{1}{9}(D(X_1)+D(X_2)+D(X_3)) = \frac{1}{9}(8+8+8) = \frac{8}{3}. \]
步骤 3：利用切比雪夫不等式
根据切比雪夫不等式，对于任意随机变量 $X$ 和任意正数 $k$，有：
\[ P(|X - E(X)| \geq k) \leq \frac{D(X)}{k^2}. \]
将 $\overline{X}$ 代入，得到：
\[ P(|\overline{X} - 1| \geq 4) \leq \frac{D(\overline{X})}{4^2} = \frac{\frac{8}{3}}{16} = \frac{1}{6}. \]
因此，$P(|\overline{X} - 1| < 4) \geq 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$。