设随机变量X的密度函数是p(x)，若______，则必有0A. X sim N(mu, sigma^2)B. X sim N(mu, 1)C. X sim N(0, sigma^2)D. X sim N(0, 1)

本题考查正态分布的概率密度函数的性质。解题思路是先明确正态分布概率密度函数的表达式，求出其最大值，再根据题目要求$0 < p(x) < 1$确定标准差$\sigma$的取值范围，最后逐一分析各个选项。

1. 正态分布概率密度函数及最大值：
   • 正态分布$X\sim N(\mu,\sigma^{2})$的概率密度函数为$p(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x - \mu)^{2}}{2\sigma^{2}}}$，其中$\mu$是均值，$\sigma$是标准差。
   • 因为指数函数$e^{-\frac{(x - \mu)^{2}}{2\sigma^{2}}}$的最大值为$1$（当$x = \mu$时取得），所以$p(x)$在$x = \mu$处取得最大值，$p(\mu)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}$。
2. 确定$\sigma$的取值范围：
   • 要使$0 < p(x) < 1$，由于$p(x)>0$恒成立，只需$p(x)$的最大值小于$1$，即$p(\mu)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}<1$。
   • 解不等式$\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}<1$：
     • 两边同时乘以$\sigma\sqrt{2\pi}$（因为$\sigma>0$，不等号方向不变），得到$1 < \sigma\sqrt{2\pi}$。
     • 两边再同时除以$\sqrt{2\pi}$，可得$\sigma>\frac{1}{\sqrt{2\pi}}$。
     • 计算$\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\approx\frac{1}{\sqrt{2\times3.14159}}\approx\frac{1}{2.5066}\approx0.3989$，即$\sigma > 0.3989$。
3. 分析各个选项：
   • 选项A：$X\sim N(\mu,\sigma^{2})$，$\sigma$可以是任意正数，不能保证$\sigma > 0.3989$，所以该选项错误。
   • 选项B：$X\sim N(\mu,1)$，此时$\sigma = 1$，因为$1>0.3989$，满足$\sigma > 0.3989$，所以该选项正确。
   • 选项C：$X\sim N(0,\sigma^{2})$，$\sigma$可以是任意正数，不能保证$\sigma > 0.3989$，所以该选项错误。
   • 选项D：$X\sim N(0,1)$，此时$\sigma = 1$，因为$1>0.3989$，满足$\sigma > 0.3989$，所以该选项正确。