7.随机变量X的分布律如下表-|||-X 0 1 2 3-|||-pi 1/2 .1/4 .1/8 .1/8-|||-则 D(X)= ()-|||-A . 7/8-|||-B 15/8-|||-C .71/64-|||-D .71/4

考查要点：本题主要考查离散型随机变量方差的计算，需要掌握方差的两种计算公式及其应用。

解题核心思路：

1. 计算期望值 $E(X)$；
2. 计算期望值的平方 $[E(X)]^2$；
3. 计算平方的期望值 $E(X^2)$；
4. 方差公式：$D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$。

破题关键点：

• 正确代入公式，注意概率与对应取值的乘积求和；
• 分数运算的准确性，避免计算错误。

步骤1：计算期望值 $E(X)$

根据分布律：
$E(X) = 0 \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{4} + 2 \cdot \frac{1}{8} + 3 \cdot \frac{1}{8}$
逐项计算：

• $0 \cdot \frac{1}{2} = 0$
• $1 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$
• $2 \cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{4}$
• $3 \cdot \frac{1}{8} = \frac{3}{8}$

求和：
$E(X) = 0 + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{3}{8} = \frac{7}{8}$

步骤2：计算平方的期望值 $E(X^2)$

根据分布律：
$E(X^2) = 0^2 \cdot \frac{1}{2} + 1^2 \cdot \frac{1}{4} + 2^2 \cdot \frac{1}{8} + 3^2 \cdot \frac{1}{8}$
逐项计算：

• $0^2 \cdot \frac{1}{2} = 0$
• $1^2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$
• $2^2 \cdot \frac{1}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$
• $3^2 \cdot \frac{1}{8} = \frac{9}{8}$

求和：
$E(X^2) = 0 + \frac{1}{4} + \frac{1}{2} + \frac{9}{8} = \frac{15}{8}$

步骤3：计算方差 $D(X)$

根据公式：
$D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \frac{15}{8} - \left( \frac{7}{8} \right)^2$
计算平方项：
$\left( \frac{7}{8} \right)^2 = \frac{49}{64}$
通分后相减：
$D(X) = \frac{120}{64} - \frac{49}{64} = \frac{71}{64}$