题目
8. 已知成年人的脉搏X次/分钟服从正态分布N(μ,σ²)，从一群成年人中随机抽取10人，测量其脉搏分别为68，69，72，73，66，70，69，71，74，68，试以0.95的置信度，求每人平均脉搏μ的置信区间。
8. 已知成年人的脉搏X次/分钟服从正态分布N(μ,σ²)，从一群成年人中随机抽取10人，测量其脉搏分别为68，69，72，73，66，70，69，71，74，68，试以0.95的置信度，求每人平均脉搏μ的置信区间。
题目解答
答案
1. **计算样本均值**：
\[
\overline{x} = \frac{1}{10} \sum x_i = 70
\]
2. **计算样本标准差**：
\[
s = \sqrt{\frac{1}{9} \sum (x_i - \overline{x})^2} \approx 2.4944
\]
3. **确定 t 分布临界值**：
对于 $\alpha = 0.05$，$n-1 = 9$，查表得 $t_{0.025}(9) = 2.262$。
4. **计算置信区间**：
\[
\left[ \overline{x} - \frac{s}{\sqrt{n}} t_{\alpha/2}(n-1), \overline{x} + \frac{s}{\sqrt{n}} t_{\alpha/2}(n-1) \right] \approx [68.22, 71.78]
\]
**答案**：
\[
\boxed{[68.22, 71.78]}
\]
解析
步骤 1：计算样本均值
首先，我们需要计算样本均值 \(\overline{x}\)。样本均值是所有样本值的平均值，计算公式为：
\[ \overline{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i \]
其中，\(n\) 是样本数量，\(x_i\) 是第 \(i\) 个样本值。将给定的样本值代入公式计算：
\[ \overline{x} = \frac{1}{10} (68 + 69 + 72 + 73 + 66 + 70 + 69 + 71 + 74 + 68) = \frac{700}{10} = 70 \]
步骤 2：计算样本标准差
接下来，我们需要计算样本标准差 \(s\)。样本标准差是样本值与样本均值之差的平方的平均值的平方根，计算公式为：
\[ s = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \overline{x})^2} \]
将给定的样本值和样本均值代入公式计算：
\[ s = \sqrt{\frac{1}{9} \left( (68-70)^2 + (69-70)^2 + (72-70)^2 + (73-70)^2 + (66-70)^2 + (70-70)^2 + (69-70)^2 + (71-70)^2 + (74-70)^2 + (68-70)^2 \right)} \]
\[ s = \sqrt{\frac{1}{9} (4 + 1 + 4 + 9 + 16 + 0 + 1 + 1 + 16 + 4)} \]
\[ s = \sqrt{\frac{1}{9} \times 60} \approx 2.4944 \]
步骤 3：确定 t 分布临界值
对于置信度为 0.95，自由度 \(n-1 = 9\)，查 t 分布表得 \(t_{0.025}(9) = 2.262\)。
步骤 4：计算置信区间
最后，我们计算置信区间。置信区间的计算公式为：
\[ \left[ \overline{x} - \frac{s}{\sqrt{n}} t_{\alpha/2}(n-1), \overline{x} + \frac{s}{\sqrt{n}} t_{\alpha/2}(n-1) \right] \]
将已知值代入公式计算：
\[ \left[ 70 - \frac{2.4944}{\sqrt{10}} \times 2.262, 70 + \frac{2.4944}{\sqrt{10}} \times 2.262 \right] \]
\[ \left[ 70 - 1.78, 70 + 1.78 \right] \]
\[ \left[ 68.22, 71.78 \right] \]
首先，我们需要计算样本均值 \(\overline{x}\)。样本均值是所有样本值的平均值，计算公式为：
\[ \overline{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i \]
其中，\(n\) 是样本数量，\(x_i\) 是第 \(i\) 个样本值。将给定的样本值代入公式计算：
\[ \overline{x} = \frac{1}{10} (68 + 69 + 72 + 73 + 66 + 70 + 69 + 71 + 74 + 68) = \frac{700}{10} = 70 \]
步骤 2：计算样本标准差
接下来，我们需要计算样本标准差 \(s\)。样本标准差是样本值与样本均值之差的平方的平均值的平方根，计算公式为：
\[ s = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \overline{x})^2} \]
将给定的样本值和样本均值代入公式计算：
\[ s = \sqrt{\frac{1}{9} \left( (68-70)^2 + (69-70)^2 + (72-70)^2 + (73-70)^2 + (66-70)^2 + (70-70)^2 + (69-70)^2 + (71-70)^2 + (74-70)^2 + (68-70)^2 \right)} \]
\[ s = \sqrt{\frac{1}{9} (4 + 1 + 4 + 9 + 16 + 0 + 1 + 1 + 16 + 4)} \]
\[ s = \sqrt{\frac{1}{9} \times 60} \approx 2.4944 \]
步骤 3：确定 t 分布临界值
对于置信度为 0.95，自由度 \(n-1 = 9\)，查 t 分布表得 \(t_{0.025}(9) = 2.262\)。
步骤 4：计算置信区间
最后，我们计算置信区间。置信区间的计算公式为：
\[ \left[ \overline{x} - \frac{s}{\sqrt{n}} t_{\alpha/2}(n-1), \overline{x} + \frac{s}{\sqrt{n}} t_{\alpha/2}(n-1) \right] \]
将已知值代入公式计算：
\[ \left[ 70 - \frac{2.4944}{\sqrt{10}} \times 2.262, 70 + \frac{2.4944}{\sqrt{10}} \times 2.262 \right] \]
\[ \left[ 70 - 1.78, 70 + 1.78 \right] \]
\[ \left[ 68.22, 71.78 \right] \]