题目

设总体 X sim N(mu, sigma^2)，从正态总体中抽取容量为 n 的样本，关于总体均值 mu 的置信度为 1-alpha 的置信区间，则下列结论不正确的是(）。 A. 当方差 sigma^2 已知时，则 mu 的置信区间为 (overline(X) - (sigma)/(sqrt(n)) u_((alpha)/(2)), overline(X) + (sigma)/(sqrt(n)) u_((alpha)/(2)));B. 当方差 sigma^2 已知时，则 mu 的置信区间为 (overline(X) - (s)/(sqrt(n)) t_((alpha)/(2))(n-1), overline(X) + (s)/(sqrt(n)) t_((alpha)/(2))(n-1));C. 当方差 sigma^2 未知时，则 mu 的置信区间为 (overline(X) - (s)/(sqrt(n)) t_((alpha)/(2))(n-1), overline(X) + (s)/(sqrt(n)) t_((alpha)/(2))(n-1));D. 当方差 sigma^2 未知，但大样本时，则 mu 的置信区间为 (overline(X) - (s)/(sqrt(n)) u_((alpha)/(2)), overline(X) + (s)/(sqrt(n)) u_((alpha)/(2))).

设总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，从正态总体中抽取容量为 $n$ 的样本，关于总体均值 $\mu$ 的置信度为 $1-\alpha$ 的置信区间，则下列结论不正确的是(）。

  • A. 当方差 $\sigma^2$ 已知时，则 $\mu$ 的置信区间为 $(\overline{X} - \frac{\sigma}{\sqrt{n}} u_{\frac{\alpha}{2}}, \overline{X} + \frac{\sigma}{\sqrt{n}} u_{\frac{\alpha}{2}})$;
  • B. 当方差 $\sigma^2$ 已知时，则 $\mu$ 的置信区间为 $(\overline{X} - \frac{s}{\sqrt{n}} t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1), \overline{X} + \frac{s}{\sqrt{n}} t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1))$;
  • C. 当方差 $\sigma^2$ 未知时，则 $\mu$ 的置信区间为 $(\overline{X} - \frac{s}{\sqrt{n}} t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1), \overline{X} + \frac{s}{\sqrt{n}} t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1))$;
  • D. 当方差 $\sigma^2$ 未知，但大样本时，则 $\mu$ 的置信区间为 $(\overline{X} - \frac{s}{\sqrt{n}} u_{\frac{\alpha}{2}}, \overline{X} + \frac{s}{\sqrt{n}} u_{\frac{\alpha}{2}})$.

题目解答

答案

当方差 $\sigma^2$ 已知时，应使用标准正态分布 $Z$ 统计量，置信区间为： \[ \left( \overline{X} - \frac{\sigma}{\sqrt{n}} u_{\frac{\alpha}{2}}, \overline{X} + \frac{\sigma}{\sqrt{n}} u_{\frac{\alpha}{2}} \right) \] 选项B使用样本标准差 $S$ 和 $t$ 分布，不符合已知方差的条件，故错误。 答案：$\boxed{B}$

解析

本题主要考察正态总体下总体均值$\mu$的置信区间选择，核心是区分方差$\sigma^2$已知与未知两种情形的统计量选择。

关键知识点回顾

对于正态总体$X \sim N(\mu, \sigma^2)$，样本均值$\overline{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)$：

  1. 方差$\sigma^2$已知时：
    统计量$Z = \frac{\overline{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \sim N(0,1)$，置信区间用标准正态分布分位数$u_{\alpha/2}$，形式为：
    $\left( \overline{X} - \frac{\sigma}{\sqrt{n}} u_{\frac{\alpha}{2}}, \overline{X} + \frac{\sigma}{\sqrt{n}} u_{\frac{\alpha}{2}} \right)$
  2. 方差$\sigma^2$未知时：
    用样本标准差$s$替代$\sigma$，统计量$t = \frac{\overline{X} - \mu}{s/\sqrt{n}} \sim t(n-1)$，置信区间用$t$分布分位数$t_{\alpha/2}(n-1)$，形式为：
    $\left( \overline{X} - \frac{s}{\sqrt{n}} t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1), \overline{X} + \frac{s}{\sqrt{n}} t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1) \right)$
  3. 大样本情形（$n$足够大）：
    即使$\sigma^2$未知，中心极限定理仍使$\overline{X}$近似正态，可用$s$替代$\sigma$，置信区间近似为：
    $\left( \overline{X} - \frac{s}{\sqrt{n}} u_{\frac{\alpha}{2}}, \overline{X} + \frac{s}{\sqrt{n}} u_{\frac{\alpha}{2}} \right)$

选项分析

  • A：$\sigma^2$已知时用$u_{\alpha/2}$，正确；
  • B：$\sigma^2$已知时误用$s$和$t$分布，错误；
  • C：$\sigma^2$未知时用$t$分布，正确；
  • D：大样本时用$s$和$u_{\alpha/2}$，正确。