题目

设总体 X sim N(mu, sigma^2)，X_1, X_2, ldots X_n 为来自总体 X 的样本，overline(X) = (1)/(n) sum_(i=1)^n X_i 和 S^2 = (1)/(n-1) sum_(i=1)^n (X_i - overline(X))^2 分别是样本均值与样本方差，则下列结论正确的是(). A)(S^2)/(sigma^2) sim chi^2(n-1) B)(n(overline(X)-mu)^2)/(S^2) sim F(1, n-1) C)2X_2 - X_1 sim N(mu, sigma^2) D)(overline(X)-mu)/(S) sim t(n-1)

设总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，$X_1, X_2, \ldots X_n$ 为来自总体 $X$ 的样本，$\overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$ 和 $S^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2$ 分别是样本均值与样本方差，则下列结论正确的是().

A)$\frac{S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$

B)$\frac{n(\overline{X}-\mu)^2}{S^2} \sim F(1, n-1)$

C)$2X_2 - X_1 \sim N(\mu, \sigma^2)$

D)$\frac{\overline{X}-\mu}{S} \sim t(n-1)$

题目解答

答案

为了确定正确的结论，我们需要分析每个选项，利用正态分布的性质和统计量的分布。 ### 选项A: $\frac{S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$ 样本方差 $S^2$ 的分布由下式给出： \[ \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1) \] 这意味着： \[ S^2 \sim \frac{\sigma^2}{n-1} \chi^2(n-1) \] 因此，$\frac{S^2}{\sigma^2} \sim \frac{1}{n-1} \chi^2(n-1)$，这不等于 $\chi^2(n-1)$。所以，选项A是不正确的。 ### 选项B: $\frac{n(\overline{X} - \mu)^2}{S^2} \sim F(1, n-1)$ 样本均值 $\overline{X}$ 服从正态分布： \[ \overline{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right) \] 因此，$\frac{\overline{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \sim N(0, 1)$，并且： \[ \frac{n(\overline{X} - \mu)^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(1) \] 我们还知道： \[ \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1) \] F分布定义为两个卡方分布的比值，除以它们的自由度。因此： \[ \frac{\frac{n(\overline{X} - \mu)^2}{\sigma^2}}{\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} / (n-1)} = \frac{n(\overline{X} - \mu)^2}{S^2} \sim F(1, n-1) \] 所以，选项B是正确的。 ### 选项C: $2X_2 - X_1 \sim N(\mu, \sigma^2)$ 由于 $X_1$ 和 $X_2$ 是来自 $N(\mu, \sigma^2)$ 的独立正态随机变量，线性组合 $2X_2 - X_1$ 也服从正态分布。均值为： \[ E(2X_2 - X_1) = 2E(X_2) - E(X_1) = 2\mu - \mu = \mu \] 方差为： \[ \text{Var}(2X_2 - X_1) = 2^2 \text{Var}(X_2) + (-1)^2 \text{Var}(X_1) = 4\sigma^2 + \sigma^2 = 5\sigma^2 \] 因此，$2X_2 - X_1 \sim N(\mu, 5\sigma^2)$。所以，选项C是不正确的。 ### 选项D: $\frac{\overline{X} - \mu}{S} \sim t(n-1)$ 正确的分布是： \[ \frac{\overline{X} - \mu}{S/\sqrt{n}} \sim t(n-1) \] 因此： \[ \frac{\overline{X} - \mu}{S} \sim \frac{t(n-1)}{\sqrt{n}} \] 这不等于 $t(n-1)$。所以，选项D是不正确的。 ### 结论 正确的选项是： \[ \boxed{B} \]

解析

本题主要考察正态总体下常用统计量的分布，包括样本方差分布、t分布、F分布以及正态变量线性组合的分布，需逐一分析各选项：

选项A：$\frac{S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$

样本方差的性质：对于正态总体$X \sim N(\mu, \sigma^2)$，有
$\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$
而非$\frac{S^2}{\}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$，故A错误。

选项B：$\frac{n(\overline{X}-\mu)^2}{S^2} \sim F(1, n-1)$

  • 样本均值$\overline{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)$，则$\frac{\overline{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}} \sim N(0,1)$，平方后得：
    $\frac{n(\overline{X}-\mu)^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(1)$
  • 由样本方差性质：$\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$
  • F分布定义：$F(m,n)=\frac{\chi^2(m)/m}{\chi^2(n)/n}$，代入得：
    $\frac{\frac{n(\overline{X}-\mu)^2/\sigma^2}{1} \bigg/ \frac{(n-1)S^2/\sigma^2}{n-1} = \sim F(1,n-1)$
    化简即$\frac{n(\overline{X}-\mu)^2}{S^2} \sim F(1,n-1)$，故B正确。

选项C：$2X_2 - X_1 \sim N(\mu, \sigma^2)$

正态变量线性组合仍为正态分布，计算均值和方差：

  • 均值：$E(2X_2 - X_1)=2\mu - \mu=\mu$
  • 方差：$\text{Var}(2X_2 - X1)=4\text{Var}(X2) + \text{Var}(X1)=4\sigma^2 + \sigma^2=5\###### **选项D：$\frac{\overline{X}-\mu}{S} \sim t(n-1)$
    t分布定义：$\frac{\overline{X}-\mu}{S/\sqrt{n}} \sim t(n-1)$，而非$\frac{\overline{X}-\mu}{S}$，故    D错误**。