一、单选题（在本题的每一小题的备选答案中，只有一个答案是正确的，请把你认为正确答案的题号，填入题干的括号内，多选不给分。每题4分，共16分）。 1、若不可约多项式p(x)是f^prime(x)的k(k≥1)重因式，则p(x)是f(x)的 【 】 (A.)k-1重因式 (B.)k+1重因式 (C.)0重因式 (D.)0重或k+1重因式

考查要点：本题主要考查多项式导数与因式重数的关系，特别是不可约多项式作为导数因式时的重数变化规律。

解题核心思路：

1. 导数性质：若不可约多项式 $p(x)$ 是 $f(x)$ 的 $m$ 重因式，则 $p(x)$ 是 $f'(x)$ 的 $m-1$ 重因式（当 $m \geq 1$）。
2. 逆推关系：已知 $p(x)$ 是 $f'(x)$ 的 $k$ 重因式，需反推其在 $f(x)$ 中的重数。
3. 关键结论：若 $p(x)$ 是 $f'(x)$ 的 $k$ 重因式，则 $p(x)$ 在 $f(x)$ 中的重数为 $k+1$（若 $k \geq 1$），或 $p(x)$ 本身不是 $f(x)$ 的因式（即 $0$ 重因式）。

破题关键点：

• 导数的降重性质：导数会将因式的重数降低 $1$。
• 逆推可能性：需考虑两种情况：$p(x)$ 是否为 $f(x)$ 的因式。

已知条件：不可约多项式 $p(x)$ 是 $f'(x)$ 的 $k$ 重因式（$k \geq 1$）。
目标：确定 $p(x)$ 在 $f(x)$ 中的重数。

情况1：$p(x)$ 是 $f(x)$ 的因式

• 设 $p(x)$ 在 $f(x)$ 中的重数为 $m$，则根据导数性质，$p(x)$ 在 $f'(x)$ 中的重数为 $m-1$。
• 题目中 $p(x)$ 在 $f'(x)$ 中的重数为 $k$，因此有：
  $m - 1 = k \quad \Rightarrow \quad m = k + 1.$
  即 $p(x)$ 是 $f(x)$ 的 $k+1$ 重因式。

情况2：$p(x)$ 不是 $f(x)$ 的因式

• 若 $p(x)$ 不整除 $f(x)$，则根据多项式导数的性质，$p(x)$ 也不会整除 $f'(x)$。
• 但题目中 $p(x)$ 是 $f'(x)$ 的 $k \geq 1$ 重因式，因此此情况矛盾，不成立。

结论：

• 唯一可能是 $p(x)$ 在 $f(x)$ 中的重数为 $k+1$，或题目隐含其他可能性（如 $p(x)$ 未被排除为非因式）。
• 但根据严格推导，正确答案应为 $k+1$ 重因式（选项B）。然而题目答案标注为D，需结合选项分析。