题目

例3.设随机变量X与Y相互独立，且X~N(1,2²),Y~N(0,3²),Z=(X)/(2)+(Y)/(3),求ρxz.

例3.设随机变量X与Y相互独立，且X~N(1,2²),Y~N(0,3²),Z=$\frac{X}{2}+\frac{Y}{3}$,求ρxz.

题目解答

答案

1. **计算期望**： $E(Z) = E\left(\frac{X}{2} + \frac{Y}{3}\right) = \frac{E(X)}{2} + \frac{E(Y)}{3} = \frac{1}{2}$。 2. **计算方差**： $D(Z) = D\left(\frac{X}{2}\right) + D\left(\frac{Y}{3}\right) = \frac{1}{4}D(X) + \frac{1}{9}D(Y) = 1 + 1 = 2$。 3. **计算协方差**： $\text{Cov}(X, Z) = \text{Cov}\left(X, \frac{X}{2} + \frac{Y}{3}\right) = \frac{1}{2}D(X) = 2$。 4. **计算相关系数**： $\rho_{XZ} = \frac{\text{Cov}(X, Z)}{\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Z)}} = \frac{2}{\sqrt{4}\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$。 **答案**： $\boxed{\frac{\sqrt{2}}{2}}$

解析

考查要点：本题主要考查正态分布随机变量的线性组合性质、协方差与相关系数的计算，以及独立随机变量的性质。

解题核心思路：

确定Z的分布：利用独立正态变量的线性组合仍为正态分布的性质，计算Z的期望和方差。
计算协方差：通过协方差的线性性质，结合X与Y的独立性简化计算。
代入相关系数公式：将协方差和标准差代入公式求解。

破题关键点：

独立变量的协方差为0：X与Y独立，故Cov(X,Y)=0。
协方差的线性性：Cov(X, aX + bY) = aCov(X,X) + bCov(X,Y) = aD(X)。
相关系数公式：$\rho_{XZ} = \frac{\text{Cov}(X,Z)}{\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Z)}}$。

1. 计算Z的期望

$E(Z) = E\left(\frac{X}{2} + \frac{Y}{3}\right) = \frac{E(X)}{2} + \frac{E(Y)}{3} = \frac{1}{2} + \frac{0}{3} = \frac{1}{2}.$

2. 计算Z的方差

$\begin{aligned}D(Z) &= D\left(\frac{X}{2} + \frac{Y}{3}\right) \\&= D\left(\frac{X}{2}\right) + D\left(\frac{Y}{3}\right) \quad (\text{X与Y独立}) \\&= \left(\frac{1}{2}\right)^2 D(X) + \left(\frac{1}{3}\right)^2 D(Y) \\&= \frac{1}{4} \cdot 4 + \frac{1}{9} \cdot 9 \\&= 1 + 1 = 2.\end{aligned}$

3. 计算协方差Cov(X,Z)

$\begin{aligned}\text{Cov}(X,Z) &= \text{Cov}\left(X, \frac{X}{2} + \frac{Y}{3}\right) \\&= \text{Cov}\left(X, \frac{X}{2}\right) + \text{Cov}\left(X, \frac{Y}{3}\right) \\&= \frac{1}{2} \text{Cov}(X,X) + \frac{1}{3} \text{Cov}(X,Y) \quad (\text{协方差线性性}) \\&= \frac{1}{2} D(X) + \frac{1}{3} \cdot 0 \quad (\text{X与Y独立}) \\&= \frac{1}{2} \cdot 4 = 2.\end{aligned}$

4. 计算相关系数ρxz

$\begin{aligned}\rho_{XZ} &= \frac{\text{Cov}(X,Z)}{\sqrt{D(X)} \sqrt{D(Z)}} \\&= \frac{2}{\sqrt{4} \cdot \sqrt{2}} \\&= \frac{2}{2 \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}.\end{aligned}$