题目
36.已知正常男性成人血液中，每一毫升所含白细胞数的均值是7300，均方差是700.利用切比雪夫不等式估计每毫升含白细胞数在5200~9400的概率p.
36.已知正常男性成人血液中，每一毫升所含白细胞数的均值是7300，均方差是700.利用切比雪夫不等式估计每毫升含白细胞数在5200~9400的概率p.
题目解答
答案
设 $X$ 为每毫升白细胞数，已知 $E(X) = 7300$，$D(X) = 700^2$。
将区间转换为：
\[
5200 < X < 9400 \implies |X - 7300| < 2100
\]
由切比雪夫不等式：
\[
P(|X - E(X)| \geq \varepsilon) \leq \frac{D(X)}{\varepsilon^2}
\]
取 $\varepsilon = 2100$，则：
\[
P(|X - 7300| \geq 2100) \leq \frac{700^2}{2100^2} = \frac{1}{9}
\]
故：
\[
P(|X - 7300| < 2100) \geq 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}
\]
**答案：** $\boxed{\frac{8}{9}}$
解析
本题考查切比雪夫不等式的应用。解题思路是先明确切比雪夫不等式的形式，再根据题目所给的均值、均方差以及白细胞数的区间，将区间转化为符合切比雪夫不等式的形式，最后代入不等式进行计算。
- 设$X$为每毫升白细胞数，已知$E(X) = 7300$（均值），$D(X) = 700^2$（方差，均方差的平方）。
- 对于区间$5200 < X < 9400$，我们将其转化为与均值$E(X)$相关的绝对值不等式形式：
- 因为$5200=7300 - 2100$，$9400=7300 + 2100$，所以$5200 < X < 9400$可转化为$\vert X - 7300\vert < 2100$。
- 切比雪夫不等式为$P(\vert X - E(X)\vert\geq\varepsilon)\leq\frac{D(X)}{\varepsilon^2}$，其中$\varepsilon$是一个正数。
- 在这里我们取$\varepsilon = 2100$，将$E(X) = 7300$，$D(X) = 700^2$，$\varepsilon = 2100$代入切比雪夫不等式，得到$P(\vert X - 7300\vert\geq2100)\leq\frac{700^2}{2100^2}$。
- 计算$\frac{700^2}{2100^2}$：
- 根据$(\frac{a}{b})^n=\frac{a^n}{b^n}$，$\frac{700^2}{2100^2}=(\frac{700}{2100})^2$。
- 又因为$\frac{700}{2100}=\frac{1}{3}$，所以$(\frac{700}{2100})^2 = (\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$，即$P(\vert X - 7300\vert\geq2100)\leq\frac{1}{9}$。
- 由于事件$\vert X - 7300\vert < 2100$与事件$\vert X - 7300\vert\geq2100$是对立事件，根据对立事件概率之和为$1$，即$P(\vert X - 7300\vert < 2100)=1 - P(\vert X - 7300\vert\geq2100)$。
- 因为$P(\vert X - 7300\\vert\geq2100)\leq\frac{1}{9}$，所以$P(\vert X - 7300\vert < 2100)\geq1-\frac{1}{9}$。
- 计算$1-\frac{1}{9}$：
- $1-\frac{1}{9}=\frac{9}{9}-\frac{1}{9}=\frac{9 - 1}{9}=\frac{8}{9}$。