已知A B都是n阶方阵,则(A+B)^2=A^2+B^2的充要条件为().A. AB=BAB. AB=0C. AB=-BAD. A=0

考查要点：本题主要考查矩阵运算中的平方展开及非交换性带来的条件限制。关键在于理解矩阵乘法不满足交换律，从而推导出特定条件。

解题核心思路：将$(A+B)^2$展开，对比左右两边的表达式，找到中间项必须满足的条件。通过分析得出$AB + BA = 0$，即$AB = -BA$，从而确定充要条件。

破题关键点：

1. 展开平方：正确展开$(A+B)^2$为$A^2 + AB + BA + B^2$。
2. 对比等式：令展开式等于$A^2 + B^2$，得出中间项$AB + BA$必须为零矩阵。
3. 推导条件：从$AB + BA = 0$直接得到$AB = -BA$，即选项C。

1. 展开左边表达式：
   $(A+B)^2 = (A+B)(A+B) = A^2 + AB + BA + B^2.$

2. 对比等式：
   题目要求$(A+B)^2 = A^2 + B^2$，因此中间项必须满足：
   $AB + BA = 0.$

3. 推导条件：
   由$AB + BA = 0$可得：
   $AB = -BA.$
   这表明$A$与$B$的乘积互为相反数，即选项C。

4. 验证其他选项：

   • 选项A（$AB=BA$）：若成立，则$AB + BA = 2AB$，除非$AB=0$，但题目未限定此条件，故不成立。
   • 选项B（$AB=0$）：此时$AB + BA = BA$，需$BA=0$，但题目未给出，故不成立。
   • 选项D（$A=0$）：此时等式恒成立，但仅为特例，非充要条件。