题目
5.4 若一母体ξ的方差 ^2=4, 而ξ是容量为100的子样的均值.分别利用切比雪夫不等式和极-|||-限定理求出一个界限,使得 overline (E)-mu (mu 为母体ξ的数学期望E(ξ))夹在这界限之间的概率为0.9.
题目解答
答案
解析
考查要点：本题主要考查切比雪夫不等式和中心极限定理的应用，要求根据给定概率求出均值与母体期望的偏差界限。
解题核心思路：
- 切比雪夫不等式：通过方差和概率关系，建立不等式求解界限。
- 中心极限定理：利用正态分布的对称性，结合标准正态分布分位数求解。
破题关键点：
- 切比雪夫不等式需将概率条件转化为关于界限的不等式，注意方差与样本量的关联。
- 中心极限定理需将问题转化为标准正态分布，通过查分位数表确定临界值。
切比雪夫不等式求解
- 公式应用：根据切比雪夫不等式，概率满足：
$P\left(|\overline{\xi} - M| \leq x\right) \geq 1 - \frac{\sigma^2}{n x^2}$
其中 $\sigma^2 = 4$，$n = 100$，要求概率 $0.9$，即：
$1 - \frac{4}{100 x^2} \geq 0.9$ - 解不等式：
$\frac{4}{100 x^2} \leq 0.1 \implies x^2 \geq \frac{4}{10} = 0.4 \implies x \geq \sqrt{0.4} \approx 0.6325$
中心极限定理求解
- 标准化处理：样本均值 $\overline{\xi}$ 近似服从正态分布 $N\left(M, \frac{\sigma^2}{n}\right)$，即标准差为 $\frac{2}{10} = 0.2$。
- 概率转化：
$P\left(|\overline{\xi} - M| \leq x\right) = P\left(\left|\frac{\overline{\xi} - M}{0.2}\right| \leq \frac{x}{0.2}\right) = 0.9$ - 查分位数：对应标准正态分布的分位数 $z_{0.95} \approx 1.645$，因此：
$\frac{x}{0.2} = 1.645 \implies x = 1.645 \times 0.2 = 0.329$