题目
已知某高校图书馆有座位2500个供学生学习使用，假设每个座位被使用的概率为0.8，且它们是否被使用是相互独立的，试用中心极限定理计算座位使用数量在1960~2040之间的概率.（结果用标准正态分布的分布函数表示）
已知某高校图书馆有座位2500个供学生学习使用，假设每个座位被使用的概率为0.8，且它们是否被使用是相互独立的，试用中心极限定理计算座位使用数量在1960~2040之间的概率.（结果用标准正态分布的分布函数表示）
题目解答
答案
用X表示座位被使用的数量，则X服从参数
的二项分布，则
，
，则座位使用数量在1960~2040之间的概率为
.
解析
步骤 1：定义随机变量
设X表示座位被使用的数量，则X服从参数n=2500, p=0.8的二项分布。
步骤 2：计算期望和方差
根据二项分布的性质，期望E(X) = np = 2500 * 0.8 = 2000，方差Var(X) = np(1-p) = 2500 * 0.8 * (1-0.8) = 400。
步骤 3：应用中心极限定理
由于n很大，根据中心极限定理，X近似服从正态分布N(2000, 400)。因此，座位使用数量在1960~2040之间的概率可以表示为P(1960 ≤ X ≤ 2040)。
步骤 4：标准化
将X标准化为Z = (X - E(X)) / sqrt(Var(X)) = (X - 2000) / sqrt(400) = (X - 2000) / 20。因此，P(1960 ≤ X ≤ 2040) = P((1960 - 2000) / 20 ≤ Z ≤ (2040 - 2000) / 20) = P(-2 ≤ Z ≤ 2)。
步骤 5：计算概率
P(-2 ≤ Z ≤ 2) = Φ(2) - Φ(-2) = Φ(2) - [1 - Φ(2)] = 2Φ(2) - 1，其中Φ(z)是标准正态分布的分布函数。
设X表示座位被使用的数量，则X服从参数n=2500, p=0.8的二项分布。
步骤 2：计算期望和方差
根据二项分布的性质，期望E(X) = np = 2500 * 0.8 = 2000，方差Var(X) = np(1-p) = 2500 * 0.8 * (1-0.8) = 400。
步骤 3：应用中心极限定理
由于n很大，根据中心极限定理，X近似服从正态分布N(2000, 400)。因此，座位使用数量在1960~2040之间的概率可以表示为P(1960 ≤ X ≤ 2040)。
步骤 4：标准化
将X标准化为Z = (X - E(X)) / sqrt(Var(X)) = (X - 2000) / sqrt(400) = (X - 2000) / 20。因此，P(1960 ≤ X ≤ 2040) = P((1960 - 2000) / 20 ≤ Z ≤ (2040 - 2000) / 20) = P(-2 ≤ Z ≤ 2)。
步骤 5：计算概率
P(-2 ≤ Z ≤ 2) = Φ(2) - Φ(-2) = Φ(2) - [1 - Φ(2)] = 2Φ(2) - 1，其中Φ(z)是标准正态分布的分布函数。