设 X_1, X_2, X_3, X_4 为来自总体 X 的样本，则下列（ ）不是总体均值无偏估计量.A. hat(mu)_1 = 0.2X_1 + 0.3X_2 + 0.1X_3 + 0.4X_4B. hat(mu)_2 = X_1C. hat(mu)_3 = 0.2X_1 + 0.2X_2 + 0.2X_3 + 0.2X_4D. hat(mu)_4 = 2X_1 + X_2 - 2X_3

本题考查总体均值无偏估计量的概念。解题思路是根据无偏估计量的定义，若一个估计量 $\hat{\theta}$ 满足 $E(\hat{\theta}) = \theta$，则称 $\hat{\theta}$ 是 $\theta$ 的无偏估计量。对于总体均值 $\mu$ 的估计量 $\hat{\mu}$，若 $E(\hat{\mu}) = \mu$，则 $\hat{\mu}$ 是总体均值的无偏估计量。我们需要分别计算每个选项中估计量的期望，看是否等于总体均值 $\mu$。

已知 $X_1, X_2, X_3, X_4$ 为来自总体 $X$ 的样本，设总体均值为 $E(X)=\mu$，根据期望的线性性质 $E(aX + bY)=aE(X)+bE(Y)$ 来计算各选项估计量的期望。

• 选项A：
  已知 $\hat{\mu}_1 = 0.2X_1 + 0.3X_2 + 0.1X_3 + 0.4X_4$，计算其期望：
  $\begin{align*}E(\hat{\mu}_1)&=E(0.2X_1 + 0.3X_2 + 0.1X_3 + 0.4X_4)\\&=0.2E(X_1)+0.3E(X_2)+0.1E(X_3)+0.4E(X_4)\end{align*}$
  因为 $X_1, X_2, X_3, X_4$ 是来自总体 $X$ 的样本，所以 $E(X_1)=E(X_2)=E(X_3)=E(X_4)=\mu$，则：
  $\begin{align*}E(\hat{\mu}_1)&=0.2\mu + 0.3\mu + 0.1\mu + 0.4\mu\\&=(0.2 + 0.3 + 0.1 + 0.4)\mu\\&=\mu\end{align*}$
  所以 $\hat{\mu}_1$ 是总体均值的无偏估计量。
• 选项B：
  已知 $\hat{\mu}_2 = X_1$，计算其期望：
  $E(\hat{\mu}_2)=E(X_1)=\mu$
  所以 $\hat{\mu}_2$ 是总体均值的无偏估计量。
• 选项C：
  已知 $\hat{\mu}_3 = 0.2X_1 + 0.2X_2 + 0.2X_3 + 0.2X_4$，计算其期望：
  $\begin{align*}E(\hat{\mu}_3)&=E(0.2X_1 + 0.2X_2 + 0.2X_3 + 0.2X_4)\\&=0.2E(X_1)+0.2E(X_2)+0.2E(X_3)+0.2E(X_4)\end{align*}$
  因为 $E(X_1)=E(X_2)=E(X_3)=E(X_4)=\mu$，则：
  $\begin{align*}E(\hat{\mu}_3)&=0.2\mu + 0.2\mu + 0.2\mu + 0.2\mu\\&=(0.2 + 0.2 + 0.2 + 0.2)\mu\\&=0.8\mu\neq\mu\end{align*}$
  所以 $\hat{\mu}_3$ 不是总体均值的无偏估计量。
• 选项D：
  已知 $\hat{\mu}_4 = 2X_1 + X_2 - 2X_3$，计算其期望：
  $\begin{align*}E(\hat{\mu}_4)&=E(2X_1 + X_2 - 2X_3)\\&=2E(X_1)+E(X_2)-2E(X_3)\end{align*}$
  因为 $E(X_1)=E(X_2)=E(X_3)=\mu$，则：
  $\begin{align*}E(\hat{\mu}_4)&=2\mu + \mu - 2\mu\\&=\mu\end{align*}$
  所以 $\hat{\mu}_4$ 是总体均值的无偏估计量。