题目
4.设随机向量(X,Y)服从二元正态分布N(-|||-((mu )_(1),(mu )_(2);({sigma )_(1)}^2,({sigma )_(2)}^2;rho ), 其中 (mu )_(1)=1, (mu )_(2)=2,,-|||-({sigma )_(1)}^2=2 , ({O)_(2)}^2=8, ρ=0.2, 则有 X-2Y 亦服从正态分布,为N( __ ,__
题目解答
答案
解析
考查要点：本题主要考查二元正态分布的线性组合的分布参数计算，涉及均值和方差的求解。
解题核心思路：
- 均值计算：线性组合的均值等于各变量均值的线性组合。
- 方差计算：利用协方差公式展开，注意相关系数$\rho$对协方差的影响。
破题关键点：
- 均值公式：$E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)$。
- 方差公式：$D(aX + bY) = a^2D(X) + b^2D(Y) + 2ab\text{Cov}(X,Y)$，其中$\text{Cov}(X,Y) = \rho\sigma_1\sigma_2$。
均值计算
根据线性组合的均值公式：
$E(X - 2Y) = E(X) - 2E(Y) = \mu_1 - 2\mu_2 = 1 - 2 \times 2 = -3.$
方差计算
-
协方差计算：
$\text{Cov}(X,Y) = \rho\sigma_1\sigma_2 = 0.2 \times \sqrt{2} \times \sqrt{8} = 0.2 \times \sqrt{16} = 0.2 \times 4 = 0.8.$ -
方差展开：
$D(X - 2Y) = D(X) + (-2)^2D(Y) + 2 \times 1 \times (-2) \times \text{Cov}(X,Y).$ -
代入数值：
$D(X - 2Y) = 2 + 4 \times 8 + 2 \times (-2) \times 0.8 = 2 + 32 - 3.2 = 30.8.$