题目
求向量组_(1)=(1,-1,2,2), (alpha )_(2)=(2,-3,1,4),_(1)=(1,-1,2,2), (alpha )_(2)=(2,-3,1,4),_(1)=(1,-1,2,2), (alpha )_(2)=(2,-3,1,4),的秩与一个极大线性无关组并利用该极大线性无关组来线性表示其余向量。
求向量组
的秩与一个极大线性无关组并利用该极大线性无关组来线性表示其余向量。
题目解答
答案
设
；
对其进行初等行变换，将第一行的1倍加到第二行 可得：
；
将第一行的-2倍分别加到第三行、第四行可得：
；
将第二行的-3倍加到第三行可得：
；
将第二行乘-1，第三行除以-5，第四行除以-13可得：
；
将第二行的-2倍加到第一行可得：
；
将第三行的-1倍加到第四行、第三行的3倍加到第二行，第三行的-8倍加到第一行可得：
；
得行最简形，非零行的个数是3，故向量组的秩为3；首元所在的列数是第一列、第二列、第四列，故可找出一个极大线性无关组：
；
根据第三列、第五列的元素，写出其余向量用极大线性无关组线性表示的关系式：
；
。
解析
步骤 1：构造矩阵
构造矩阵$A=(\alpha \dfrac {T}{1},\alpha \dfrac {T}{2},\alpha \dfrac {T}{3},\alpha ,\dfrac {T}{4},\alpha ,\dfrac {T}{5})$，其中$\alpha _{1}=(1,-1,2,2)$，$\alpha _{2}=(2,-3,1,4)$，$\alpha _{3}=(0,1,3,0)$，$\alpha _{4}=(2,1,8,-9)$，$\alpha _{5}=(5,-3,11,-3)$。
步骤 2：初等行变换
对矩阵$A$进行初等行变换，以求得其行最简形。具体步骤如下：
- 将第一行的1倍加到第二行。
- 将第一行的-2倍分别加到第三行、第四行。
- 将第二行的-3倍加到第三行。
- 将第二行乘-1，第三行除以-5，第四行除以-13。
- 将第二行的-2倍加到第一行。
- 将第三行的-1倍加到第四行、第三行的3倍加到第二行，第三行的-8倍加到第一行。
步骤 3：确定秩和极大线性无关组
根据行最简形矩阵，非零行的个数即为向量组的秩。首元所在的列数对应的向量即为极大线性无关组。根据第三列、第五列的元素，写出其余向量用极大线性无关组线性表示的关系式。
构造矩阵$A=(\alpha \dfrac {T}{1},\alpha \dfrac {T}{2},\alpha \dfrac {T}{3},\alpha ,\dfrac {T}{4},\alpha ,\dfrac {T}{5})$，其中$\alpha _{1}=(1,-1,2,2)$，$\alpha _{2}=(2,-3,1,4)$，$\alpha _{3}=(0,1,3,0)$，$\alpha _{4}=(2,1,8,-9)$，$\alpha _{5}=(5,-3,11,-3)$。
步骤 2：初等行变换
对矩阵$A$进行初等行变换，以求得其行最简形。具体步骤如下：
- 将第一行的1倍加到第二行。
- 将第一行的-2倍分别加到第三行、第四行。
- 将第二行的-3倍加到第三行。
- 将第二行乘-1，第三行除以-5，第四行除以-13。
- 将第二行的-2倍加到第一行。
- 将第三行的-1倍加到第四行、第三行的3倍加到第二行，第三行的-8倍加到第一行。
步骤 3：确定秩和极大线性无关组
根据行最简形矩阵，非零行的个数即为向量组的秩。首元所在的列数对应的向量即为极大线性无关组。根据第三列、第五列的元素，写出其余向量用极大线性无关组线性表示的关系式。