20. 由抛物线y^2=2x与直线y=x-4所围成的图形的面积是A. 18B. (38)/(3)C. (16)/(3)D. 16

考查要点：本题主要考查利用定积分求平面图形的面积，涉及抛物线与直线的交点求解及积分计算。

解题思路：

1. 确定交点：联立抛物线与直线方程，解出交点坐标，确定积分上下限。
2. 选择积分变量：根据图形特点，选择以$y$为变量积分，将曲线表达式转化为$x$关于$y$的函数。
3. 计算面积：通过积分求出两曲线之间的面积差，注意积分区间的正确性。

关键点：

• 联立方程求交点是确定积分范围的基础。
• 正确表达积分函数，即右侧曲线$x = y + 4$与左侧曲线$x = \frac{y^2}{2}$的差值。

1. 求交点

联立抛物线$y^2 = 2x$与直线$y = x - 4$：

• 将$y = x - 4$代入抛物线方程，得：
  $(x - 4)^2 = 2x \implies x^2 - 10x + 16 = 0$
• 解得$x = 8$或$x = 2$，对应$y = 4$或$y = -2$，交点为$(8, 4)$和$(2, -2)$。

2. 计算面积

以$y$为变量，积分区间为$y \in [-2, 4]$：

• 右侧曲线$x = y + 4$，左侧曲线$x = \frac{y^2}{2}$。
• 面积$S$为：
  $S = \int_{-2}^{4} \left[ (y + 4) - \frac{y^2}{2} \right] \, dy$
• 分项积分：
  $\int \left( y + 4 - \frac{y^2}{2} \right) dy = \frac{y^2}{2} + 4y - \frac{y^3}{6}$
• 代入上下限计算：
  $\left[ \frac{4^2}{2} + 4 \cdot 4 - \frac{4^3}{6} \right] - \left[ \frac{(-2)^2}{2} + 4 \cdot (-2) - \frac{(-2)^3}{6} \right] = \frac{40}{3} - \left( -\frac{14}{3} \right) = 18$