题目
假设样本 X_1, X_2, ldots, X_n 来自正态总体 N(mu, sigma^2)。总体数学期望 mu 已知，则下列估计量中是总体方差 sigma^2 的无偏估计是(）A. (1)/(n)sum_(i=1)^n(X_(i)-overline(X))^2B. (1)/(n-1)sum_(i=1)^n(X_(i)-overline(X))^2C. (1)/(n+1)sum_(i=1)^n(X_(i)-mu)^2D. (1)/(n-1)sum_(i=1)^n(X_(i)-mu)^2
假设样本 $X_1, X_2, \ldots, X_n$ 来自正态总体 $N(\mu, \sigma^2)$。总体数学期望 $\mu$ 已知，则下列估计量中是总体方差 $\sigma^2$ 的无偏估计是(）
A. $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\overline{X})^{2}$
B. $\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\overline{X})^{2}$
C. $\frac{1}{n+1}\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\mu)^{2}$
D. $\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\mu)^{2}$
题目解答
答案
B. $\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\overline{X})^{2}$
解析
步骤 1：分析选项A
$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\overline{X})^{2}$ 是样本方差的计算公式，但当总体均值 $\mu$ 已知时，使用样本均值 $\overline{X}$ 代替 $\mu$ 会导致估计值偏小，其期望值为 $\frac{n-1}{n} \sigma^2$，因此不是无偏估计。
步骤 2：分析选项B
$\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\overline{X})^{2}$ 是样本方差的计算公式，当总体均值 $\mu$ 已知时，使用样本均值 $\overline{X}$ 代替 $\mu$ 会导致估计值偏小，但通过除以 $n-1$ 而不是 $n$，可以修正这种偏差，其期望值为 $\sigma^2$，因此是无偏估计。
步骤 3：分析选项C
$\frac{1}{n+1}\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\mu)^{2}$ 是总体方差的计算公式，但除以 $n+1$ 会导致估计值偏小，其期望值为 $\frac{n}{n+1} \sigma^2$，因此不是无偏估计。
步骤 4：分析选项D
$\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\mu)^{2}$ 是总体方差的计算公式，但除以 $n-1$ 会导致估计值偏大，其期望值为 $\frac{n}{n-1} \sigma^2$，因此不是无偏估计。
$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\overline{X})^{2}$ 是样本方差的计算公式，但当总体均值 $\mu$ 已知时，使用样本均值 $\overline{X}$ 代替 $\mu$ 会导致估计值偏小，其期望值为 $\frac{n-1}{n} \sigma^2$，因此不是无偏估计。
步骤 2：分析选项B
$\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\overline{X})^{2}$ 是样本方差的计算公式，当总体均值 $\mu$ 已知时，使用样本均值 $\overline{X}$ 代替 $\mu$ 会导致估计值偏小，但通过除以 $n-1$ 而不是 $n$，可以修正这种偏差，其期望值为 $\sigma^2$，因此是无偏估计。
步骤 3：分析选项C
$\frac{1}{n+1}\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\mu)^{2}$ 是总体方差的计算公式，但除以 $n+1$ 会导致估计值偏小，其期望值为 $\frac{n}{n+1} \sigma^2$，因此不是无偏估计。
步骤 4：分析选项D
$\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\mu)^{2}$ 是总体方差的计算公式，但除以 $n-1$ 会导致估计值偏大，其期望值为 $\frac{n}{n-1} \sigma^2$，因此不是无偏估计。