题目
5.设某一批零件重量X服从正态分布N(μ，0.6²)，随机抽取9个测得平均重量为5（单位：千克），试求此零件重量总体均值的置信度为0.95的置信区间（已知u_(0.975)=1.96）.
5.设某一批零件重量X服从正态分布N(μ，0.6²)，随机抽取9个测得平均重量为5（单位：千克），试求此零件重量总体均值的置信度为0.95的置信区间（已知u_{0.975}=1.96）.
题目解答
答案
已知条件：
- 样本均值 $\overline{x} = 5$
- 总体标准差 $\sigma = 0.6$
- 样本量 $n = 9$
- 置信度 $1 - \alpha = 0.95$，对应 $u_{\alpha/2} = 1.96$
置信区间公式：
\[
\left( \overline{x} - \frac{\sigma}{\sqrt{n}} u_{\alpha/2}, \overline{x} + \frac{\sigma}{\sqrt{n}} u_{\alpha/2} \right)
\]
代入数值：
\[
\left( 5 - \frac{0.6}{3} \times 1.96, 5 + \frac{0.6}{3} \times 1.96 \right) = \left( 5 - 0.392, 5 + 0.392 \right) = (4.608, 5.392)
\]
**答案：** $\boxed{(4.608, 5.392)}$
解析
本题考查正态分布总体均值在总体方差已知情况下的置信区间的计算。解题思路如下：
- 明确已知条件：
- 已知零件重量$X$服从正态分布$N(\mu,0.6^{2})$，所以总体标准差$\sigma = 0.6$。
- 随机抽取$9$个零件，即样本量$n = 9$。
- 测得样本平均重量为$5$，即样本均值$\overline{x}=5$。
- 置信度为$0.95$，也就是$1 - \alpha = 0.95$，由此可算出$\alpha=1 - 0.95 = 0.05$，那么$\frac{\alpha}{2}=\frac{0.05}{2}=0.025$，已知$u_{0.975}=1.96$，这里$u_{\frac{\alpha}{2}} = u_{0.025}$，根据标准正态分布的性质$u_{1 - p}=-u_{p}$，可得$u_{0.025}=-u_{0.975}=- 1.96$，在计算置信区间时我们取绝对值$\vert u_{\frac{\alpha}{2}}\vert=1.96$。
- 确定置信区间公式：
当总体$X\sim N(\mu,\sigma^{2})$，$\sigma$已知时，总体均值$\mu$的置信度为$1 - \alpha$的置信区间为$\left(\overline{x}-\frac{\sigma}{\sqrt{n}}u_{\frac{\alpha}{2}},\overline{x}+\frac{\sigma}{\sqrt{n}}u_{\frac{\alpha}{2}}\right)$。 - 代入数值计算：
将$\overline{x} = 5$，$\sigma = 0.6$，$n = 9$，$u_{\frac{\alpha}{2}}=1.96$代入上述公式。- 先计算$\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$的值：
$\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{0.6}{\sqrt{9}}=\frac{0.6}{3}=0.2$。 - 再计算$\frac{\sigma}{\sqrt{n}}u_{\frac{\alpha}{2}}$的值：
$\frac{\sigma}{\sqrt{n}}u_{\frac{\alpha}{2}}=0.2\times1.96 = 0.392$。 - 最后计算置信区间：
$\overline{x}-\frac{\sigma}{\sqrt{n}}u_{\frac{\alpha}{2}}=5 - 0.392 = 4.608$；
$\overline{x}+\frac{\sigma}{\sqrt{n}}u_{\frac{\alpha}{2}}=5 + 0.392 = 5.392$。
所以总体均值$\mu$的置信度为$0.95$的置信区间为$(4.608,5.392)$。
- 先计算$\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$的值：