题目

7.假定考生成绩服从正态分布,在某地一次数学统考中,随机抽取了36位考生的成绩,-|||-算得平均成绩为66.5分,标准差为15分,问在显著性水平0.05下,是否可以认为这次考试-|||-全体考生的平均成绩为70分?

题目解答

答案

答案:可以3人为解析:本题是关于正态总体均值的假设推验问题,由于总体方差未知,故用+检验法,假设检验问题为: H_{0}:M=70 VSH_{1}:M \\neq 70 拒绝域为 \\{1+1>+\\frac{a(n-1)}{2}\\} ,若 x=0.05 ,贝 \\cdot f(0.975(35)=2.0301 ,且 x=66.5 S=15 ,,故检验统计量的值为 t=\\frac{6(66.5-70)}{15}=-1.4 因为 1+1=1.4<2.0301 ,故接受原假设,可以认为这次考试全体考生的平均成绩与70分无显著差异.知识点:方差未知正态总体均值双侧检验

解析

考查要点：本题主要考查正态总体均值的假设检验，特别是当总体方差未知时，使用t检验法进行双侧检验的应用。

解题核心思路：

  1. 建立假设：原假设$H_0: \mu=70$，备择假设$H_1: \mu \neq 70$。
  2. 选择检验统计量：由于总体方差未知，采用$t$统计量，公式为：
    $t = \frac{\bar{X} - \mu_0}{S/\sqrt{n}}$
  3. 确定拒绝域：根据显著性水平$\alpha=0.05$和自由度$n-1=35$，查$t$分布表得到临界值$t_{\alpha/2}(35)$。
  4. 计算检验统计量，并与临界值比较，作出决策。

破题关键：正确识别检验类型（双侧检验）、计算$t$值时注意分母为标准误，以及临界值的双侧对称性。

建立假设

  • 原假设：$H_0: \mu = 70$（全体考生平均成绩为70分）
  • 备择假设：$H_1: \mu \neq 70$（全体考生平均成绩不等于70分）

计算检验统计量

  1. 样本均值：$\bar{X} = 66.5$
  2. 假设均值：$\mu_0 = 70$
  3. 样本标准差：$S = 15$
  4. 样本量：$n = 36$
  5. 标准误：$S/\sqrt{n} = 15/\sqrt{36} = 2.5$
  6. t值计算：
    $t = \frac{66.5 - 70}{2.5} = \frac{-3.5}{2.5} = -1.4$

确定临界值

  • 自由度：$n-1 = 35$
  • 显著性水平$\alpha=0.05$，双侧检验临界值为$t_{0.975}(35) = 2.0301$

作出决策

  • 绝对值比较：$|t| = 1.4 < 2.0301$
  • 结论：不拒绝原假设，认为全体考生平均成绩与70分无显著差异。