9、单选 设形如圆锥 z=sqrt(x^2)+y^(2),0leqslant zleqslant 1 的曲面型物体的面密度为 rho(x,y,z)=2-z，则其质心与原点的距离为（）.A. (4)/(5)B. (3)/(8)C. (5)/(8)D. (3)/(5)

考查要点：本题主要考查曲面质心的计算，涉及曲面积分的应用。需要掌握柱坐标系下的曲面积分转换、质心坐标的积分公式，以及对称性简化计算的能力。

解题核心思路：

1. 利用对称性确定质心位置：圆锥关于z轴对称，质心必在z轴上，故只需计算z坐标$\bar{z}$。
2. 计算总质量$M$：将曲面积分转换为柱坐标系下的二重积分，注意面积元素$dS$的表达式。
3. 计算质心坐标$\bar{z}$：通过积分$z \rho$并除以总质量$M$，最终得到质心与原点的距离即为$\bar{z}$。

破题关键点：

• 正确转换面积元素：在柱坐标系中，圆锥曲面$z = r$的面积元素为$dS = \sqrt{2} \, r \, dr \, d\theta$。
• 积分计算的准确性：需正确展开并计算多项式积分，注意分步化简。

1. 计算总质量$M$

总质量公式为：
$M = \iint_S \rho \, dS$
在柱坐标系中，$z = r$，$\rho = 2 - r$，面积元素$dS = \sqrt{2} \, r \, dr \, d\theta$。积分范围：$r \in [0,1]$，$\theta \in [0, 2\pi]$。代入得：
$M = \int_0^{2\pi} \int_0^1 (2 - r) \cdot \sqrt{2} \, r \, dr \, d\theta$
分步计算：

1. $\theta$积分：$\int_0^{2\pi} d\theta = 2\pi$。
2. $r$积分：$\int_0^1 (2r - r^2) \, dr = \left[ r^2 - \frac{r^3}{3} \right]_0^1 = \frac{2}{3}$。
3. 总质量：$M = 2\pi \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{4\pi\sqrt{2}}{3}$。

2. 计算质心$z$-坐标$\bar{z}$

质心坐标公式为：
$\bar{z} = \frac{1}{M} \iint_S z \rho \, dS$
在曲面上$z = r$，代入$\rho = 2 - r$和$dS$得：
$\bar{z} = \frac{1}{M} \int_0^{2\pi} \int_0^1 r(2 - r) \cdot \sqrt{2} \, r \, dr \, d\theta$
分步计算：

1. $\theta$积分：$\int_0^{2\pi} d\theta = 2\pi$。
2. $r$积分：$\int_0^1 (2r^2 - r^3) \, dr = \left[ \frac{2r^3}{3} - \frac{r^4}{4} \right]_0^1 = \frac{5}{12}$。
3. 分子积分：$2\pi \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{5}{12} = \frac{5\pi\sqrt{2}}{6}$。
4. 质心坐标：$\bar{z} = \frac{\frac{5\pi\sqrt{2}}{6}}{\frac{4\pi\sqrt{2}}{3}} = \frac{5}{8}$。

3. 质心与原点的距离

质心位于z轴上，距离为$\bar{z} = \frac{5}{8}$。