题目
((X)_(1),(X)_(2),... ,(X)_(10)) 是来自正态总体((X)_(1),(X)_(2),... ,(X)_(10))的样本 ,((X)_(1),(X)_(2),... ,(X)_(10))是样本方差,已知((X)_(1),(X)_(2),... ,(X)_(10)),则常数 a = ( )A 26 . 105 B 10 . 625 C 20 . 165 D 62 . 105
是来自正态总体
的样本 ,
是样本方差,已知
,则常数 a = ( )
A 26 . 105
B 10 . 625
C 20 . 165
D 62 . 105
题目解答
答案
∵样本容量 n=10 , 统计量
∴
∴
∴
故答案为A
解析
步骤 1：确定样本容量和总体方差
样本容量 n=10，总体方差 ${\sigma}^{2}=16$。
步骤 2：构造卡方分布统计量
根据样本方差 ${S}^{2}$ 和总体方差 ${\sigma}^{2}$，构造卡方分布统计量 ${X}^{2}=\dfrac {(n-1){S}^{2}}{{\sigma}^{2}}=\dfrac {(10-1){S}^{2}}{{4}^{2}}=\dfrac {9{S}^{2}}{16}$，该统计量服从自由度为 n-1=9 的卡方分布，即 ${X}^{2}\sim {X}^{2}(9)$。
步骤 3：利用给定概率求解常数 a
已知 $P({S}^{2}\gt a)=0.1$，则 $P(\dfrac {9{S}^{2}}{16}\gt \dfrac {9a}{16})=0.1$，即 $\dfrac {9a}{16}={{X}_{0.1}}^{2}(9)$。查卡方分布表，得到 ${{X}_{0.1}}^{2}(9)=14.684$，从而求得 $a=\dfrac {14.684\times 16}{9}\approx 26.105$。
样本容量 n=10，总体方差 ${\sigma}^{2}=16$。
步骤 2：构造卡方分布统计量
根据样本方差 ${S}^{2}$ 和总体方差 ${\sigma}^{2}$，构造卡方分布统计量 ${X}^{2}=\dfrac {(n-1){S}^{2}}{{\sigma}^{2}}=\dfrac {(10-1){S}^{2}}{{4}^{2}}=\dfrac {9{S}^{2}}{16}$，该统计量服从自由度为 n-1=9 的卡方分布，即 ${X}^{2}\sim {X}^{2}(9)$。
步骤 3：利用给定概率求解常数 a
已知 $P({S}^{2}\gt a)=0.1$，则 $P(\dfrac {9{S}^{2}}{16}\gt \dfrac {9a}{16})=0.1$，即 $\dfrac {9a}{16}={{X}_{0.1}}^{2}(9)$。查卡方分布表，得到 ${{X}_{0.1}}^{2}(9)=14.684$，从而求得 $a=\dfrac {14.684\times 16}{9}\approx 26.105$。