题目
设总体 X sim N(mu, sigma^2)，mu，sigma^2 为未知参数，(X_1, X_2, ..., X_n) 为样本，则 mu 的置信度为 1-alpha 的置信区间为(）。 A. (overline(X) - (sigma)/(sqrt(n)) z_((alpha)/(2)), overline(X) + (sigma)/(sqrt(n)) z_((alpha)/(2)))B. (overline(X) - (S)/(sqrt(n)) t_((alpha)/(2))(n), overline(X) + (S)/(sqrt(n)) t_((alpha)/(2))(n))C. (((n-1)S^2)/(chi_(frac{alpha){2)}^2(n-1)}, ((n-1)S^2)/(chi_(1-frac{alpha){2)}^2(n-1)})D. (overline(X) - (S)/(sqrt(n)) t_((alpha)/(2))(n-1), overline(X) + (S)/(sqrt(n)) t_((alpha)/(2))(n-1))
设总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，$\mu$，$\sigma^2$ 为未知参数，$(X_1, X_2, \cdots, X_n)$ 为样本，则 $\mu$ 的置信度为 $1-\alpha$ 的置信区间为(）。
- A. ($\overline{X} - \frac{\sigma}{\sqrt{n}} z_{\frac{\alpha}{2}}, \overline{X} + \frac{\sigma}{\sqrt{n}} z_{\frac{\alpha}{2}}$)
- B. ($\overline{X} - \frac{S}{\sqrt{n}} t_{\frac{\alpha}{2}}(n), \overline{X} + \frac{S}{\sqrt{n}} t_{\frac{\alpha}{2}}(n)$)
- C. ($\frac{(n-1)S^2}{\chi_{\frac{\alpha}{2}}^2(n-1)}, \frac{(n-1)S^2}{\chi_{1-\frac{\alpha}{2}}^2(n-1)}$)
- D. ($\overline{X} - \frac{S}{\sqrt{n}} t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1), \overline{X} + \frac{S}{\sqrt{n}} t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)$)
题目解答
答案
当总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ 中 $\sigma^2$ 未知时，使用 t 分布构造 $\mu$ 的置信区间。统计量 $\frac{\overline{X} - \mu}{S/\sqrt{n}}$ 服从 $t(n-1)$ 分布，其中 $\overline{X}$ 为样本均值，$S$ 为样本标准差。对于置信度 $1-\alpha$，置信区间为：
\[
\left(\overline{X} - \frac{S}{\sqrt{n}} t_{\alpha/2}(n-1), \overline{X} + \frac{S}{\sqrt{n}} t_{\alpha/2}(n-1)\right)
\]
对应选项 D。
**答案：D**
解析
步骤 1：确定总体分布和参数
总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，其中 $\mu$ 和 $\sigma^2$ 是未知参数。$(X_1, X_2, \cdots, X_n)$ 是样本，$\overline{X}$ 是样本均值，$S$ 是样本标准差。
步骤 2：选择合适的统计量
当总体方差 $\sigma^2$ 未知时，使用 t 分布来构造 $\mu$ 的置信区间。统计量 $\frac{\overline{X} - \mu}{S/\sqrt{n}}$ 服从 $t(n-1)$ 分布，其中 $n-1$ 是自由度。
步骤 3：构造置信区间
对于置信度 $1-\alpha$，置信区间为： \[ \left(\overline{X} - \frac{S}{\sqrt{n}} t_{\alpha/2}(n-1), \overline{X} + \frac{S}{\sqrt{n}} t_{\alpha/2}(n-1)\right) \] 其中 $t_{\alpha/2}(n-1)$ 是 t 分布的上 $\alpha/2$ 分位数。
总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，其中 $\mu$ 和 $\sigma^2$ 是未知参数。$(X_1, X_2, \cdots, X_n)$ 是样本，$\overline{X}$ 是样本均值，$S$ 是样本标准差。
步骤 2：选择合适的统计量
当总体方差 $\sigma^2$ 未知时，使用 t 分布来构造 $\mu$ 的置信区间。统计量 $\frac{\overline{X} - \mu}{S/\sqrt{n}}$ 服从 $t(n-1)$ 分布，其中 $n-1$ 是自由度。
步骤 3：构造置信区间
对于置信度 $1-\alpha$，置信区间为： \[ \left(\overline{X} - \frac{S}{\sqrt{n}} t_{\alpha/2}(n-1), \overline{X} + \frac{S}{\sqrt{n}} t_{\alpha/2}(n-1)\right) \] 其中 $t_{\alpha/2}(n-1)$ 是 t 分布的上 $\alpha/2$ 分位数。