12.设随机变量X服从正态分布N(mu_(1),sigma_(1)^2)(sigma_(1)>0)，Y服从正态分布N(mu_(2),sigma_(2)^2)(sigma_(2)>0)，若P(|X-mu_(1)|A. mu_(1)B. mu_(1)>mu_(2),sigma_(1)=sigma_(2)C. mu_(1)=mu_(2),sigma_(1)D. mu_(1)=mu_(2),sigma_(1)>sigma_(2)

考查要点：本题主要考查正态分布的概率计算及参数关系的判断，涉及标准化变换和标准正态分布函数的应用。

解题核心思路：

1. 标准化处理：将两个正态分布变量的绝对偏差概率转化为标准正态分布下的概率，通过等式关系得出方差相等。
2. 概率不等式分析：利用标准正态分布函数的单调性，结合给定概率不等式，推导均值的大小关系。

破题关键点：

• 方差相等：通过比较两个正态分布的绝对偏差概率，得出σ₁=σ₂。
• 均值比较：通过P(X≤μ₂)<1/2，结合标准化后的表达式，判断μ₁与μ₂的大小关系。

步骤1：分析绝对偏差概率相等的条件

对于X和Y的绝对偏差概率：
$P(|X-\mu_1|<1) = P\left(-1 < X-\mu_1 <1\right) = P\left(-\frac{1}{\sigma_1} < \frac{X-\mu_1}{\sigma_1} < \frac{1}{\sigma_1}\right)$
标准化后服从标准正态分布，因此：
$P\left(-\frac{1}{\sigma_1} < Z < \frac{1}{\sigma_1}\right) = \Phi\left(\frac{1}{\sigma_1}\right) - \Phi\left(-\frac{1}{\sigma_1}\right) = 2\Phi\left(\frac{1}{\sigma_1}\right) -1$
同理，Y的概率为：
$2\Phi\left(\frac{1}{\sigma_2}\right) -1$
由题意得：
$2\Phi\left(\frac{1}{\sigma_1}\right) -1 = 2\Phi\left(\frac{1}{\sigma_2}\right) -1 \implies \Phi\left(\frac{1}{\sigma_1}\right) = \Phi\left(\frac{1}{\sigma_2}\right)$
由于Φ函数单调递增，故：
$\frac{1}{\sigma_1} = \frac{1}{\sigma_2} \implies \sigma_1 = \sigma_2$

步骤2：分析概率不等式P(X≤μ₂)<1/2

将X标准化：
$P(X \leq \mu_2) = P\left(\frac{X-\mu_1}{\sigma_1} \leq \frac{\mu_2 - \mu_1}{\sigma_1}\right) = \Phi\left(\frac{\mu_2 - \mu_1}{\sigma_1}\right)$
由σ₁=σ₂且σ₁>0，不等式变为：
$\Phi\left(\frac{\mu_2 - \mu_1}{\sigma_1}\right) < \frac{1}{2}$
因为Φ(z)<1/2当且仅当z<0，故：
$\frac{\mu_2 - \mu_1}{\sigma_1} < 0 \implies \mu_2 - \mu_1 < 0 \implies \mu_1 > \mu_2$