题目
21.一批钢材，其中80%的长度不小于3m米，现从钢材中随机取100根，用中心极限定理求小于3m的钢材不超过30根的概率。(Phi(2.5)≈0.994)(7分)
21.一批钢材，其中80%的长度不小于3m米，现从钢材中随机取100根，用中心极限定理求小于3m的钢材不超过30根的概率。($\Phi$(2.5)≈0.994)(7分)
题目解答
答案
设 $ X $ 为100根钢材中小于3米的根数，$ X \sim B(100, 0.2) $。
期望 $ E(X) = np = 20 $，方差 $ D(X) = np(1-p) = 16 $。
由中心极限定理，$ X $ 近似服从 $ N(20, 16) $。
标准化得：
\[
P(X \leq 30) = P\left( \frac{X - 20}{4} \leq \frac{30 - 20}{4} \right) = P(Z \leq 2.5) \approx \Phi(2.5) \approx 0.9938
\]
**答案：** $\boxed{0.9938}$