题目
(1996,3)设A=}1&1&...&1a_(1)&a_(2)&...&a_(n)a_(1)^2&a_(2)^2&...&a_(n)^2vdots&vdots&...&vdotsa_(1)^(n-1)/(2)&a_(2)^(n-1)/(2)&...&a_(n)^(n-1)/(2)x=B的解是____.
(1996,3)设$A=\begin{bmatrix}1&1&\cdots&1\\a_{1}&a_{2}&\cdots&a_{n}\\a_{1}^{2}&a_{2}^{2}&\cdots&a_{n}^{2}\\\vdots&\vdots&\cdots&\vdots\\a_{1}^{\frac{n-1}{2}}&a_{2}^{\frac{n-1}{2}}&\cdots&a_{n}^{\frac{n-1}{2}}\end{bmatrix}$,$x=\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots\\x_{n}\end{bmatrix}$,$B=\begin{bmatrix}1\\1\\\vdots\\1\end{bmatrix}$,其中$a_{i}\neq a_{j}(i\neq j,i,j=1,2,\cdots,n)$,则线性方程组$A^{T}x=B$的解是____.
题目解答
答案
设 $A$ 为 $n \times n$ 范德蒙德矩阵，其中 $a_i \neq a_j$（$i \neq j$），则 $A^T$ 可逆。方程 $A^T x = B$ 可写为：
$\begin{bmatrix}1 & a_1 & \cdots & a_1^{n-1} \\\vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\1 & a_n & \cdots & a_n^{n-1}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1 \\\vdots \\x_n\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 \\\vdots \\1\end{bmatrix}.$
定义多项式 $P(t) = x_1 + x_2 t + \cdots + x_n t^{n-1}$，则 $P(a_i) = 1$（$i = 1, 2, \ldots, n$）。由于 $P(t)$ 次数至多为 $n-1$，且在 $n$ 个不同点取值为 1，故 $P(t) \equiv 1$。因此，$x_1 = 1$，$x_2 = x_3 = \cdots = x_n = 0$。
答案：
$\boxed{
\begin{bmatrix}
1 \\
0 \\
\vdots \\
0
\end{bmatrix}
}$（或 $(1, 0, \ldots, 0)^T$）