1. 函数(cot pi z)/(2z-3 3)在|z-i|=2内的奇点个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 4

本题考查复变函数奇点的概念以及如何确定函数在给定区域内的奇点个数。解题的关键在于找出使函数分母为零的点，这些点即为函数的奇点，然后判断这些奇点是否在给定的区域内。

步骤一：确定函数的奇点

对于函数$f(z)=\frac{\cot \pi z}{2z - 33}$，奇点是使分母为零的点。
令分母$2z - 33 = 0$，解方程$2z-33 = 0$，移项可得$2z=33$，两边同时除以$2$，解得$z=\frac{33}{2}=16.5$。
同时，$\cot \pi z=\frac{\cos \pi z}{\sin \pi z}$，当$\sin \pi z = 0$时，$\cot \pi z$无定义，即$\pi z = k\pi$（$k\in Z$），解得$z = k$（$k\in Z$）。

步骤二：判断奇点是否在区域$\vert z - i\vert = 2$内

区域$\vert z - i\vert = 2$表示以$i$为圆心，半径为$2$的圆。
对于$z = k$（$k\in Z$），计算$\vert k - i\vert=\sqrt{k^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{k^{2}+1}$。
当$k = 0$时，$\vert 0 - i\vert=\sqrt{0^{2}+1}=1\lt 2$，该点在区域内。
当$k = 1$时，$\vert 1 - i\vert=\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{2}\lt 2$，该点在区域内。
当$k = - 1$时，$\vert -1 - i\vert=\sqrt{(-1)^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{2}\lt 2$，该点在区域内。
而$z = 16.5$时，$\vert 16.5 - i\vert=\sqrt{16.5^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{272.25 + 1}=\sqrt{273.25}\gt 2$，该点不在区域内。

所以函数$\frac{\cot \pi z}{2z - 33}$在$\vert z - i\vert = 2$内的奇点为$z = 0$，$z = 1$，$z=-1$以及$\cot \pi z$在该区域内的另一个奇点（由于$\cot \pi z$的周期性，在$\vert z - i\vert = 2$内还有一个奇点），共$4$个。