题目
设随机变量X与Y的方差分别为4与1,相关系数为0.25,则 D(X+Y)与 D(X-Y)分别为()A. 6, 5B. 6, 4C. 3, 5D. 5, 4
设随机变量X与Y的方差分别为4与1,相关系数为0.25,则 D(X+Y)与 D(X-Y)分别为()
A. 6, 5
B. 6, 4
C. 3, 5
D. 5, 4
题目解答
答案
B. 6, 4
解析
步骤 1：计算 D(X+Y)
根据方差的性质，我们有：
\[ D(X+Y) = D(X) + D(Y) + 2 \cdot \text{Cov}(X,Y) \]
其中，\(\text{Cov}(X,Y)\) 是 X 和 Y 的协方差，可以由相关系数 \(\rho_{XY}\) 和标准差 \(\sigma_X\)、\(\sigma_Y\) 计算得到：
\[ \text{Cov}(X,Y) = \rho_{XY} \cdot \sigma_X \cdot \sigma_Y \]
已知 \(D(X) = 4\)，\(D(Y) = 1\)，\(\rho_{XY} = 0.25\)，\(\sigma_X = \sqrt{D(X)} = 2\)，\(\sigma_Y = \sqrt{D(Y)} = 1\)，代入上述公式：
\[ \text{Cov}(X,Y) = 0.25 \cdot 2 \cdot 1 = 0.5 \]
因此：
\[ D(X+Y) = 4 + 1 + 2 \cdot 0.5 = 6 \]
步骤 2：计算 D(X-Y)
同样地，根据方差的性质，我们有：
\[ D(X-Y) = D(X) + D(Y) - 2 \cdot \text{Cov}(X,Y) \]
代入已知值：
\[ D(X-Y) = 4 + 1 - 2 \cdot 0.5 = 4 \]
根据方差的性质，我们有：
\[ D(X+Y) = D(X) + D(Y) + 2 \cdot \text{Cov}(X,Y) \]
其中，\(\text{Cov}(X,Y)\) 是 X 和 Y 的协方差，可以由相关系数 \(\rho_{XY}\) 和标准差 \(\sigma_X\)、\(\sigma_Y\) 计算得到：
\[ \text{Cov}(X,Y) = \rho_{XY} \cdot \sigma_X \cdot \sigma_Y \]
已知 \(D(X) = 4\)，\(D(Y) = 1\)，\(\rho_{XY} = 0.25\)，\(\sigma_X = \sqrt{D(X)} = 2\)，\(\sigma_Y = \sqrt{D(Y)} = 1\)，代入上述公式：
\[ \text{Cov}(X,Y) = 0.25 \cdot 2 \cdot 1 = 0.5 \]
因此：
\[ D(X+Y) = 4 + 1 + 2 \cdot 0.5 = 6 \]
步骤 2：计算 D(X-Y)
同样地，根据方差的性质，我们有：
\[ D(X-Y) = D(X) + D(Y) - 2 \cdot \text{Cov}(X,Y) \]
代入已知值：
\[ D(X-Y) = 4 + 1 - 2 \cdot 0.5 = 4 \]