题目
据以往经验,某种电器元件的寿命服从均值为100h的指数分布,现随-|||-机地取16只,设它们的寿命是相互独立的.求这16只元件的寿命的总和大于-|||-1920h的概率.
题目解答
答案
解析
步骤 1：定义随机变量
设 ${X}_{i}(i=1,2,\cdots ,16)$ 为第i只元件的寿命，且它们相互独立。根据题设，每个元件的寿命服从均值为100小时的指数分布，即 $E(X_i) = 100$，$D(X_i) = 100^2$。
步骤 2：定义总寿命
设 $T = \sum_{i=1}^{16} X_i$ 为16只元件寿命的总和。根据中心极限定理，当样本量足够大时，样本均值的分布近似于正态分布。因此，$T$ 的分布可以近似为正态分布，其均值为 $16 \times 100 = 1600$，方差为 $16 \times 100^2$，标准差为 $\sqrt{16 \times 100^2} = 400$。
步骤 3：计算概率
要计算 $T$ 大于1920小时的概率，即 $P(T > 1920)$。首先，将 $T$ 标准化，得到 $Z = \frac{T - 1600}{400}$，$Z$ 服从标准正态分布。因此，$P(T > 1920) = P(Z > \frac{1920 - 1600}{400}) = P(Z > 0.8)$。查标准正态分布表，得到 $P(Z > 0.8) = 1 - P(Z \leq 0.8) = 1 - 0.7881 = 0.2119$。
设 ${X}_{i}(i=1,2,\cdots ,16)$ 为第i只元件的寿命，且它们相互独立。根据题设，每个元件的寿命服从均值为100小时的指数分布，即 $E(X_i) = 100$，$D(X_i) = 100^2$。
步骤 2：定义总寿命
设 $T = \sum_{i=1}^{16} X_i$ 为16只元件寿命的总和。根据中心极限定理，当样本量足够大时，样本均值的分布近似于正态分布。因此，$T$ 的分布可以近似为正态分布，其均值为 $16 \times 100 = 1600$，方差为 $16 \times 100^2$，标准差为 $\sqrt{16 \times 100^2} = 400$。
步骤 3：计算概率
要计算 $T$ 大于1920小时的概率，即 $P(T > 1920)$。首先，将 $T$ 标准化，得到 $Z = \frac{T - 1600}{400}$，$Z$ 服从标准正态分布。因此，$P(T > 1920) = P(Z > \frac{1920 - 1600}{400}) = P(Z > 0.8)$。查标准正态分布表，得到 $P(Z > 0.8) = 1 - P(Z \leq 0.8) = 1 - 0.7881 = 0.2119$。