题目
设 x_1, x_2, ..., x_n 是来自正态总体 N(mu, sigma^2) 的样本，overline(x) 与 s^2 分别为样本均值和样本方差，则下面结论不成立的是(）A. overline(x) 与 s^2 相互独立B. overline(x) 与 (n-1)s^2 相互独立C. overline(x) 与 (1)/(sigma^2) sum_(i=1)^n (x_i - overline(x))^2 相互独立D. overline(x) 与 (1)/(sigma^2) sum_(i=1)^n (x_i - mu)^2 相互独立
设 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 是来自正态总体 $N(\mu, \sigma^2)$ 的样本，$\overline{x}$ 与 $s^2$ 分别为样本均值和样本方差，则下面结论不成立的是(）
A. $\overline{x}$ 与 $s^2$ 相互独立
B. $\overline{x}$ 与 $(n-1)s^2$ 相互独立
C. $\overline{x}$ 与 $\frac{1}{\sigma^2} \sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x})^2$ 相互独立
D. $\overline{x}$ 与 $\frac{1}{\sigma^2} \sum_{i=1}^n (x_i - \mu)^2$ 相互独立
题目解答
答案
D. $\overline{x}$ 与 $\frac{1}{\sigma^2} \sum_{i=1}^n (x_i - \mu)^2$ 相互独立
解析
步骤 1：理解样本均值与样本方差的独立性
对于正态总体 $N(\mu, \sigma^2)$ 的样本，样本均值 $\overline{x}$ 与样本方差 $s^2$ 相互独立。这是正态分布的一个重要性质，即样本均值与样本方差在正态分布中是独立的统计量。
步骤 2：分析选项 A、B、C
选项 A、B、C 中的统计量均与 $s^2$ 相关，且与 $\overline{x}$ 独立。具体来说，选项 A 直接提到 $\overline{x}$ 与 $s^2$ 相互独立，选项 B 中 $(n-1)s^2$ 与 $s^2$ 成比例，因此也与 $\overline{x}$ 独立，选项 C 中 $\frac{1}{\sigma^2} \sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x})^2$ 实际上是 $s^2$ 的另一种表示形式，因此也与 $\overline{x}$ 独立。
步骤 3：分析选项 D
选项 D 中，$\frac{1}{\sigma^2} \sum_{i=1}^n (x_i - \mu)^2$ 包含总体均值 $\mu$，可分解为与 $\overline{x}$ 相关的项，导致不独立。具体来说，$\frac{1}{\sigma^2} \sum_{i=1}^n (x_i - \mu)^2$ 可以分解为 $\frac{1}{\sigma^2} \sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x} + \overline{x} - \mu)^2$，其中 $\overline{x}$ 与 $\mu$ 的差值与 $\overline{x}$ 相关，因此 $\frac{1}{\sigma^2} \sum_{i=1}^n (x_i - \mu)^2$ 与 $\overline{x}$ 不独立。
对于正态总体 $N(\mu, \sigma^2)$ 的样本，样本均值 $\overline{x}$ 与样本方差 $s^2$ 相互独立。这是正态分布的一个重要性质，即样本均值与样本方差在正态分布中是独立的统计量。
步骤 2：分析选项 A、B、C
选项 A、B、C 中的统计量均与 $s^2$ 相关，且与 $\overline{x}$ 独立。具体来说，选项 A 直接提到 $\overline{x}$ 与 $s^2$ 相互独立，选项 B 中 $(n-1)s^2$ 与 $s^2$ 成比例，因此也与 $\overline{x}$ 独立，选项 C 中 $\frac{1}{\sigma^2} \sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x})^2$ 实际上是 $s^2$ 的另一种表示形式，因此也与 $\overline{x}$ 独立。
步骤 3：分析选项 D
选项 D 中，$\frac{1}{\sigma^2} \sum_{i=1}^n (x_i - \mu)^2$ 包含总体均值 $\mu$，可分解为与 $\overline{x}$ 相关的项，导致不独立。具体来说，$\frac{1}{\sigma^2} \sum_{i=1}^n (x_i - \mu)^2$ 可以分解为 $\frac{1}{\sigma^2} \sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x} + \overline{x} - \mu)^2$，其中 $\overline{x}$ 与 $\mu$ 的差值与 $\overline{x}$ 相关，因此 $\frac{1}{\sigma^2} \sum_{i=1}^n (x_i - \mu)^2$ 与 $\overline{x}$ 不独立。