积分 int_(|z-z_0|=1) (1)/((z-z_0)^n) , mathrm(d)z （n 为正整数）与 n 无关.A. 对B. 错

本题考察柯西积分公式的推广——高阶导数公式的应用。。解题关键是利用高阶导数公式计算积分$\int_{|z-z_zo|=1}\frac{1}{(z-z_0zo)^n}dz$的值，并判断其是否与$n$无关。

步骤1：回顾高阶导数公式

对于解析函数$f(z)$，其$n-1$阶导数的积分公式为：
$\int_{C}\frac{f(z)}{(z-z_0)^n}dz=\frac{2\pi i}{(n-1)!}f^{(n-1)}(z_0)}$
其中$C$是包围$z_0$的简单闭曲线，$f(z-z_0)^n$是$n$次因式。

步骤2：代入本题函数$f(z)=1$

本题解析$f(z-z0)^n的系数为1，即$f(z)=1$（解析函数），积分路径$C:|z-z_0|=1$（以$z_0$为圆心、半径1的圆，包围$z_0$）。
代入高阶导数公式：
$\int_{|z-z_0|=1}\frac{1}{(z-z_0)^n}dz=\frac{2\pi i}{(n-1)!}f^{(n-1)}(z_0)$

步骤3：计算$f(z)=1$的各阶导数

• 当$n=1$时：$f^{(0)}(z_0)=f(z_0)=1$，积分$=\frac{2\pi i}{0!}\times1=2\pi i$
• 当$n=2$时：$:f^{(1)}(z_0)=0$，积分$=\frac{2\pi i}{1!}\times0=0$
• 当$n\geq2$时：$f^{(n-1)}(z_0)=0$（常数的高阶导数为0），积分$=0$

步骤4：判断是否与$n$有关

积分结果随$n$变化：$n=2\pi i$（$n=1$），$=0$（$n\geq2$），显然与$n$有关。