题目
4.(1)设样本X1,X2,···X6来自总体N(0,1), =(({X)_(1)+(X)_(2)+(X)_(3))}^2+((X)_(4)+-|||-_(5)+(X)_(6))}^2 ,试确定常数C使CY服从x^2分布.-|||-(2)设样本X1,X2,···,X 5来自总体N(0,1), =dfrac (C({X)_(1)+(X)_(2))}({({X)_(3)^2+({X)_(4)}^2+({X)_(5)}^2)}^1/2} ,试确-|||-定常数C使Y服从t分布.-|||-(3)已知总体 sim t(n) ,求证 ^2sim F(1,n) 。
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定CY服从x^2分布的条件
由于X1,X2,···,X6是总体N(0,1)的样本，因此X1+X2+X3和X4+X5+X6都是正态分布的随机变量，且它们的方差为3。因此，$\frac{X_1+X_2+X_3}{\sqrt{3}}$和$\frac{X_4+X_5+X_6}{\sqrt{3}}$都是标准正态分布的随机变量。根据卡方分布的定义，$\frac{(X_1+X_2+X_3)^2}{3}+\frac{(X_4+X_5+X_6)^2}{3}$服从卡方分布，自由度为2。因此，$C=\frac{1}{3}$。
步骤 2：确定CY服从t分布的条件
由于X1,X2,···,X5是总体N(0,1)的样本，因此X1+X2是正态分布的随机变量，且它的方差为2。因此，$\frac{X_1+X_2}{\sqrt{2}}$是标准正态分布的随机变量。而${X_3}^2+{X_4}^2+{X_5}^2$服从卡方分布，自由度为3。根据t分布的定义，$\frac{X_1+X_2}{\sqrt{2}}/\sqrt{({X_3}^2+{X_4}^2+{X_5}^2)/3}$服从t分布，自由度为3。因此，$C=\sqrt{\frac{3}{2}}$。
步骤 3：证明${X}^{2}\sim F(1,n)$
由于总体$X\sim t(n)$，因此X可以写成$\frac{Z}{\sqrt{Y/n}}$的形式，其中$Z\sim N(0,1)$，$Y\sim \chi^2(n)$，且Z和Y相互独立。因此，在${X}^{2}=\frac{{Z}^{2}}{Y/n}$中，${Z}^{2}\sim \chi^2(1)$，$Y\sim \chi^2(n)$，且${Z}^{2}$和Y相互独立。根据F分布的定义，${X}^{2}\sim F(1,n)$。
由于X1,X2,···,X6是总体N(0,1)的样本，因此X1+X2+X3和X4+X5+X6都是正态分布的随机变量，且它们的方差为3。因此，$\frac{X_1+X_2+X_3}{\sqrt{3}}$和$\frac{X_4+X_5+X_6}{\sqrt{3}}$都是标准正态分布的随机变量。根据卡方分布的定义，$\frac{(X_1+X_2+X_3)^2}{3}+\frac{(X_4+X_5+X_6)^2}{3}$服从卡方分布，自由度为2。因此，$C=\frac{1}{3}$。
步骤 2：确定CY服从t分布的条件
由于X1,X2,···,X5是总体N(0,1)的样本，因此X1+X2是正态分布的随机变量，且它的方差为2。因此，$\frac{X_1+X_2}{\sqrt{2}}$是标准正态分布的随机变量。而${X_3}^2+{X_4}^2+{X_5}^2$服从卡方分布，自由度为3。根据t分布的定义，$\frac{X_1+X_2}{\sqrt{2}}/\sqrt{({X_3}^2+{X_4}^2+{X_5}^2)/3}$服从t分布，自由度为3。因此，$C=\sqrt{\frac{3}{2}}$。
步骤 3：证明${X}^{2}\sim F(1,n)$
由于总体$X\sim t(n)$，因此X可以写成$\frac{Z}{\sqrt{Y/n}}$的形式，其中$Z\sim N(0,1)$，$Y\sim \chi^2(n)$，且Z和Y相互独立。因此，在${X}^{2}=\frac{{Z}^{2}}{Y/n}$中，${Z}^{2}\sim \chi^2(1)$，$Y\sim \chi^2(n)$，且${Z}^{2}$和Y相互独立。根据F分布的定义，${X}^{2}\sim F(1,n)$。