题目
设X为随机变量，C为任意常数，则( )A.E(X-C)²=E(X-E(X))²B.E(X-C)²=0C.E(X-C)²<E(X-E(X))²D.E(X-C)²≥E(X-E(X))²
设X为随机变量，C为任意常数，则( )
A.E(X-C)²=E(X-E(X))²
B.E(X-C)²=0
C.E(X-C)²<E(X-E(X))²
D.E(X-C)²≥E(X-E(X))²
题目解答
答案
解：首先，我们计算E(X−C)²的展开式：
E(X−C)²=E(X²−2CX+C²)
=E(X²)−2CE(X)+C²
接下来，我们计算E(X−E(X))²的展开式：
E(X−E(X))²=E(X²−2XE(X)+E(X)²)
=E(X²)−2E(X)E(X)+E(X)²
=E(X²)−E(X)²
现在，我们比较两个表达式：
E(X−C)²−E(X−E(X))²
=(E(X²)−2CE(X)+C²)−(E(X²)−E(X)²)
=C²−2CE(X)+E(X)²=(C−E(X))²
由于平方项(C−E(X))²总是非负的，
所以：E(X−C)²⩾E(X−E(X))²
故答案为：D. E(X−C)²⩾E(X−E(X))²。
解析
步骤 1：计算E(X−C)²的展开式
E(X−C)²=E(X²−2CX+C²)=E(X²)−2CE(X)+C²
步骤 2：计算E(X−E(X))²的展开式
E(X−E(X))²=E(X²−2XE(X)+E(X)²)=E(X²)−2E(X)E(X)+E(X)²=E(X²)−E(X)²
步骤 3：比较两个表达式
E(X−C)²−E(X−E(X))²=(E(X²)−2CE(X)+C²)−(E(X²)−E(X)²)=C²−2CE(X)+E(X)²=(C−E(X))²
由于平方项(C−E(X))²总是非负的，所以：E(X−C)²⩾E(X−E(X))²
E(X−C)²=E(X²−2CX+C²)=E(X²)−2CE(X)+C²
步骤 2：计算E(X−E(X))²的展开式
E(X−E(X))²=E(X²−2XE(X)+E(X)²)=E(X²)−2E(X)E(X)+E(X)²=E(X²)−E(X)²
步骤 3：比较两个表达式
E(X−C)²−E(X−E(X))²=(E(X²)−2CE(X)+C²)−(E(X²)−E(X)²)=C²−2CE(X)+E(X)²=(C−E(X))²
由于平方项(C−E(X))²总是非负的，所以：E(X−C)²⩾E(X−E(X))²