题目
某人的微信一天收到的通知消息的次数，设为来自该总体的样本，求解 的联合概率分布尝试表示样本均值的概率分布
某人的微信一天收到的通知消息的次数
，设
为来自该总体的样本，求解
的联合概率分布
尝试表示样本均值的概率分布
题目解答
答案
由于总体，即
的概率分布为
，则的联合概率分布为
。
已知
，
，
，根据独立同分布的中心定理，
的数学期望和方差存在，有服从参正态分布
。
解析
步骤 1：确定总体分布
已知某人的微信一天收到的通知消息的次数$(K)d\sim X$，即$X$服从参数为$\lambda$的泊松分布，其概率分布为$P\{ X=k\} =\dfrac {{\lambda }^{k}}{k!}{e}^{-\lambda }$，$k=0,1,2,\cdots$。
步骤 2：求解联合概率分布
设$X_1,X_2,\cdots,X_n$为来自该总体的样本，由于$X_1,X_2,\cdots,X_n$相互独立，因此它们的联合概率分布为$P\{ X_1=x_1,X_2=x_2,\cdots,X_n=x_n\} =\prod_{i=1}^{n}P\{ X_i=x_i\} =\prod_{i=1}^{n}\dfrac {{\lambda }^{x_i}}{x_i!}{e}^{-\lambda }$。
步骤 3：求解样本均值的概率分布
样本均值$\overline{X}=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i$，由于$X_1,X_2,\cdots,X_n$独立同分布，且$E(X_i)=\lambda$，$D(X_i)=\lambda$，根据独立同分布的中心极限定理，当$n$足够大时，$\overline{X}$近似服从正态分布$N(\lambda,\dfrac{\lambda}{n})$。
已知某人的微信一天收到的通知消息的次数$(K)d\sim X$，即$X$服从参数为$\lambda$的泊松分布，其概率分布为$P\{ X=k\} =\dfrac {{\lambda }^{k}}{k!}{e}^{-\lambda }$，$k=0,1,2,\cdots$。
步骤 2：求解联合概率分布
设$X_1,X_2,\cdots,X_n$为来自该总体的样本，由于$X_1,X_2,\cdots,X_n$相互独立，因此它们的联合概率分布为$P\{ X_1=x_1,X_2=x_2,\cdots,X_n=x_n\} =\prod_{i=1}^{n}P\{ X_i=x_i\} =\prod_{i=1}^{n}\dfrac {{\lambda }^{x_i}}{x_i!}{e}^{-\lambda }$。
步骤 3：求解样本均值的概率分布
样本均值$\overline{X}=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i$，由于$X_1,X_2,\cdots,X_n$独立同分布，且$E(X_i)=\lambda$，$D(X_i)=\lambda$，根据独立同分布的中心极限定理，当$n$足够大时，$\overline{X}$近似服从正态分布$N(\lambda,\dfrac{\lambda}{n})$。