3 (2023,9题,5分)设X_(1),X_(2),...,X_(n)为来自总体N(mu_(1),sigma^2)的简单随机样本，Y_(1),Y_(2),...,为来自总体N(mu_(2),2sigma^2)的简单随机样本，且两样本相互独立.记overline(X)=(1)/(n)sum_(i=1)^nX_(i),overline(Y)=(1)/(m)sum_(i=1)^mY_(i), S_(1)^2=(1)/(n-1)sum_(i=1)^n(X_(i)-overline(X))^2,S_(2)^2=(1)/(m-1)sum_(i=1)^m(Y_(i)-overline(Y))^2,则(A)(S_(1)^2)/(S_(2)^2)sim F(n,m). (B)(S_(1)^2)/(S_(2)^2)sim F(n-1,m-1).(C)(2S_(1)^2)/(S_(2)^2)sim F(n,m). (D)(2S_(1)^2)/(S_(2)^2)sim F(n-1,m-1).
题目解答
答案
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 来自 $N(\mu_1, \sigma^2)$，$Y_1, Y_2, \cdots, Y_m$ 来自 $N(\mu_2, 2\sigma^2)$，两样本独立。
样本方差 $S_1^2$ 和 $S_2^2$ 满足：
$\frac{(n-1)S_1^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1), \quad \frac{(m-1)S_2^2}{2\sigma^2} \sim \chi^2(m-1)$
由 F 分布定义，若 $U \sim \chi^2(k)$，$V \sim \chi^2(l)$ 独立，则 $\frac{U/k}{V/l} \sim F(k, l)$。
令 $U = \frac{(n-1)S_1^2}{\sigma^2}$，$V = \frac{(m-1)S_2^2}{2\sigma^2}$，则：
$\frac{U/(n-1)}{V/(m-1)} = \frac{2S_1^2}{S_2^2} \sim F(n-1, m-1)$
答案： $\boxed{D}$
解析
本题考查的知识点为正态总体样本方差的分布以及F分布的定义。解题的关键思路是先根据正态总体样本方差的性质，确定$\frac{(n - 1)S_{1}^{2}}{\sigma^{2}}$和$\frac{(m - 1)S_{2}^{2}}{2\sigma^{2}}$所服从的$\chi^{2}$分布，再利用F分布的定义来判断$\frac{2S_{1}^{2}}{S_{2}^{2}}$的分布。
步骤一：确定$\frac{(n - 1)S_{1}^{2}}{\sigma^{2}}$和$\frac{(m - 1)S_{2}^{2}}{2\sigma^{2}}$的分布
已知$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$为来自总体$N(\mu_{1},\sigma^{2})$的简单随机样本，根据正态总体样本方差的性质，有$\frac{(n - 1)S_{1}^{2}}{\sigma^{2}}\sim\chi^{2}(n - 1)$。
同理，$Y_{1},Y_{2},\cdots,Y_{m}$为来自总体$N(\mu_{2},2\sigma^{2})$的简单随机样本，所以$\frac{(m - 1)S_{2}^{2}}{2\sigma^{2}}\sim\chi^{2}(m - 1)$。
又因为两样本相互独立，所以$\frac{(n - 1)S_{1}^{2}}{\sigma^{2}}$与$\frac{(m - 1)S_{2}^{2}}{2\sigma^{2}}$相互独立。
步骤二：根据F分布的定义判断$\frac{2S_{1}^{2}}{S_{2}^{2}}$的分布
F分布的定义为：若$U\sim\chi^{2}(k)$，$V\sim\chi^{2}(l)$，且$U$与$V$相互独立，则$\frac{U/k}{V/l}\sim F(k,l)$。
令$U = \frac{(n - 1)S_{1}^{2}}{\sigma^{2}}$，$V = \frac{(m - 1)S_{2}^{2}}{2\sigma^{2}}$，这里$k = n - 1$，$l = m - 1$。
则$\frac{U/(n - 1)}{V/(m - 1)}=\frac{\frac{(n - 1)S_{1}^{2}}{\sigma^{2}(n - 1)}}{\frac{(m - 1)S_{2}^{2}}{2\sigma^{2}(m - 1)}}$
对$\frac{\frac{(n - 1)S_{1}^{2}}{\sigma^{2}(n - 1)}}{\frac{(m - 1)S_{2}^{2}}{2\sigma^{2}(m - 1)}}$进行化简：
$\begin{align*}\frac{\frac{(n - 1)S_{1}^{2}}{\sigma^{2}(n - 1)}}{\frac{(m - 1)S_{2}^{2}}{2\sigma^{2}(m - 1)}}&=\frac{S_{1}^{2}/\sigma^{2}}{S_{2}^{2}/(2\sigma^{2})}\\&=\frac{S_{1}^{2}}{\sigma^{2}}\times\frac{2\sigma^{2}}{S_{2}^{2}}\\&=\frac{2S_{1}^{2}}{S_{2}^{2}}\end{align*}$
所以$\frac{2S_{1}^{2}}{S_{2}^{2}}\sim F(n - 1,m - 1)$。