题目
某保险公司为了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同保险期限届满的保单中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表： 索赔次数 0 1 2 3 4 保单份数 800 100 60 30 10 假设：一份保单的保费为0.4万元；前三次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元．假设不同保单的索赔次数相互独立．用频率估计概率．（1）估计一份保单索赔次数不少于2的概率；（2）一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差．（i）记X为一份保单的毛利润，估计X的数学期望EX；（ii）如果无索赔的保单的保费减少4%，有索赔的保单的保费增加20%，试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与（i）中EX估计值的大小，（结论不要求证明）
某保险公司为了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同保险期限届满的保单中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表：
假设：一份保单的保费为0.4万元；前三次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元．
假设不同保单的索赔次数相互独立．用频率估计概率．
（1）估计一份保单索赔次数不少于2的概率；
（2）一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差．
（i）记X为一份保单的毛利润，估计X的数学期望EX；
（ii）如果无索赔的保单的保费减少4%，有索赔的保单的保费增加20%，试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与（i）中EX估计值的大小，（结论不要求证明）
| 索赔次数 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 保单份数 | 800 | 100 | 60 | 30 | 10 |
假设不同保单的索赔次数相互独立．用频率估计概率．
（1）估计一份保单索赔次数不少于2的概率；
（2）一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差．
（i）记X为一份保单的毛利润，估计X的数学期望EX；
（ii）如果无索赔的保单的保费减少4%，有索赔的保单的保费增加20%，试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与（i）中EX估计值的大小，（结论不要求证明）
题目解答
答案
解：（1）设A为“随机抽取一单，赔偿不少于2次”，
由题设中的统计数据可得$P（A）=\frac{60+30+10}{800+100+60+30+10}=\frac{1}{10}$；
（2）（i）设ξ为赔付金额，则ξ可取0，0.8，1.6，2.4，3，
由题可得$P（ξ=0）=\frac{800}{1000}=\frac{4}{5}$，$P（ξ=0.8）=\frac{100}{1000}=\frac{1}{10}$，
$P（ξ=1.6）=\frac{60}{1000}=\frac{3}{50}$，$P（ξ=2.4）=\frac{30}{1000}=\frac{3}{100}$，$P（ξ=3）=\frac{10}{1000}=\frac{1}{100}$，
所以$E（ξ）=0×\frac{4}{5}+0.8×\frac{1}{10}+1.6×\frac{3}{50}+2.4×\frac{3}{100}+3×\frac{1}{100}=0.278$，
因为毛利润是保费与赔偿金额之差，
故E（X）=0.4-0.278=0.122（万元）；
（ii）由（i）知未赔偿的概率为$P（ξ=0）=\frac{800}{1000}=\frac{4}{5}$，至少赔偿一次的概率为$1-\frac{4}{5}=\frac{1}{5}$，
故保费的变化为$0.4×\frac{4}{5}×（1-4%）+0.4×\frac{1}{5}×（1+20%）=0.4032$，
设Y为保单下一保险期的毛利润，
故E（Y）=0.122+0.4032-0.4=0.1252（万元）．
所以E（X）＜E（Y）．
由题设中的统计数据可得$P（A）=\frac{60+30+10}{800+100+60+30+10}=\frac{1}{10}$；
（2）（i）设ξ为赔付金额，则ξ可取0，0.8，1.6，2.4，3，
由题可得$P（ξ=0）=\frac{800}{1000}=\frac{4}{5}$，$P（ξ=0.8）=\frac{100}{1000}=\frac{1}{10}$，
$P（ξ=1.6）=\frac{60}{1000}=\frac{3}{50}$，$P（ξ=2.4）=\frac{30}{1000}=\frac{3}{100}$，$P（ξ=3）=\frac{10}{1000}=\frac{1}{100}$，
所以$E（ξ）=0×\frac{4}{5}+0.8×\frac{1}{10}+1.6×\frac{3}{50}+2.4×\frac{3}{100}+3×\frac{1}{100}=0.278$，
因为毛利润是保费与赔偿金额之差，
故E（X）=0.4-0.278=0.122（万元）；
（ii）由（i）知未赔偿的概率为$P（ξ=0）=\frac{800}{1000}=\frac{4}{5}$，至少赔偿一次的概率为$1-\frac{4}{5}=\frac{1}{5}$，
故保费的变化为$0.4×\frac{4}{5}×（1-4%）+0.4×\frac{1}{5}×（1+20%）=0.4032$，
设Y为保单下一保险期的毛利润，
故E（Y）=0.122+0.4032-0.4=0.1252（万元）．
所以E（X）＜E（Y）．
解析
步骤 1：计算索赔次数不少于2的概率
根据题目中给出的索赔次数和保单份数，我们可以计算索赔次数不少于2的概率。索赔次数不少于2的保单份数为60+30+10=100份，总保单份数为1000份。因此，索赔次数不少于2的概率为$P（A）=\frac{100}{1000}=\frac{1}{10}$。
步骤 2：计算赔偿金额的数学期望
根据题目中给出的赔偿金额和保单份数，我们可以计算赔偿金额的数学期望。赔偿金额可取0，0.8，1.6，2.4，3万元。根据保单份数，我们可以计算出每种赔偿金额的概率，进而计算出赔偿金额的数学期望$E（ξ）=0×\frac{800}{1000}+0.8×\frac{100}{1000}+1.6×\frac{60}{1000}+2.4×\frac{30}{1000}+3×\frac{10}{1000}=0.278$万元。
步骤 3：计算毛利润的数学期望
根据题目中给出的保费和赔偿金额的数学期望，我们可以计算毛利润的数学期望。毛利润是保费与赔偿金额之差，因此$E（X）=0.4-0.278=0.122$万元。
步骤 4：计算保费的变化
根据题目中给出的保费变化，我们可以计算保费的变化。无索赔的保单的保费减少4%，有索赔的保单的保费增加20%。因此，保费的变化为$0.4×\frac{800}{1000}×（1-4%）+0.4×\frac{200}{1000}×（1+20%）=0.4032$万元。
步骤 5：计算毛利润的数学期望
根据题目中给出的保费变化和赔偿金额的数学期望，我们可以计算毛利润的数学期望。毛利润是保费与赔偿金额之差，因此$E（Y）=0.122+0.4032-0.4=0.1252$万元。
根据题目中给出的索赔次数和保单份数，我们可以计算索赔次数不少于2的概率。索赔次数不少于2的保单份数为60+30+10=100份，总保单份数为1000份。因此，索赔次数不少于2的概率为$P（A）=\frac{100}{1000}=\frac{1}{10}$。
步骤 2：计算赔偿金额的数学期望
根据题目中给出的赔偿金额和保单份数，我们可以计算赔偿金额的数学期望。赔偿金额可取0，0.8，1.6，2.4，3万元。根据保单份数，我们可以计算出每种赔偿金额的概率，进而计算出赔偿金额的数学期望$E（ξ）=0×\frac{800}{1000}+0.8×\frac{100}{1000}+1.6×\frac{60}{1000}+2.4×\frac{30}{1000}+3×\frac{10}{1000}=0.278$万元。
步骤 3：计算毛利润的数学期望
根据题目中给出的保费和赔偿金额的数学期望，我们可以计算毛利润的数学期望。毛利润是保费与赔偿金额之差，因此$E（X）=0.4-0.278=0.122$万元。
步骤 4：计算保费的变化
根据题目中给出的保费变化，我们可以计算保费的变化。无索赔的保单的保费减少4%，有索赔的保单的保费增加20%。因此，保费的变化为$0.4×\frac{800}{1000}×（1-4%）+0.4×\frac{200}{1000}×（1+20%）=0.4032$万元。
步骤 5：计算毛利润的数学期望
根据题目中给出的保费变化和赔偿金额的数学期望，我们可以计算毛利润的数学期望。毛利润是保费与赔偿金额之差，因此$E（Y）=0.122+0.4032-0.4=0.1252$万元。