题目
2.设f(x,y)=}ce^-x^(2y)&xgeq1,ygeq00&其他=____。
2.设$f(x,y)=\begin{cases}ce^{-x^{2}y}&x\geq1,y\geq0\\0&其他\end{cases}$为随机变量(X,Y)的概率密度，则c=____，P{X²Y>1}=____。
题目解答
答案
(1) 由概率密度函数性质，$\iint_{\mathbb{R}^2} f(x, y) \, dx \, dy = 1$，得
$\int_{1}^{\infty} \int_{0}^{\infty} ce^{-x^2 y} \, dy \, dx = c \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^2} \, dx = c \cdot 1 = 1 \implies c = 1.$
(2) 求 $P(X^2 Y > 1)$，即
$\iint_{x^2 y > 1} f(x, y) \, dx \, dy = \int_{1}^{\infty} \int_{\frac{1}{x^2}}^{\infty} e^{-x^2 y} \, dy \, dx = \int_{1}^{\infty} \frac{e^{-1}}{x^2} \, dx = \frac{1}{e}.$
答案：
$c = \boxed{1}$，$P(X^2 Y > 1) = \boxed{\frac{1}{e}}$。
解析
本题考查概率密度函数的性质以及概率的计算。解题思路如下：
- 对于求$c$的值，根据概率密度函数的性质，即$\iint_{\mathbb{R}^2} f(x, y) \, dx \, dy = 1$，对给定的概率密度函数进行积分计算。
- 对于求$P\{X^{2}Y > 1\}$的值，需要计算在区域$x^2 y > 1$上的概率密度函数的积分。
下面进行详细的计算：
- 计算$c$的值：
已知$f(x,y)=\begin{cases}ce^{-x^{2}y}&x\geq1,y\geq0\\0&其他\end{cases}$，根据概率密度函数的性质$\iint_{\mathbb{R}^2} f(x, y) \, dx \, dy = 1$，可得：
$\int_{1}^{\infty} \int_{0}^{\infty} ce^{-x^2 y} \, dy \, dx$
先对$y$积分：
$\int_{0}^{\infty} e^{-x^2 y} \, dy = \left[-\frac{1}{x^2}e^{-x^2 y}\right]_{0}^{\infty} = \frac{1}{x^2}$
再对$x$积分：
$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^2} \, dx = \left[-\frac{1}{x}\right]_{1}^{\infty} = 1$
所以$c \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^2} \, dx = c \cdot 1 = 1$，解得$c = 1$。 - 计算$P\{X^{2}Y > 1\}$的值：
$P\{X^{2}Y > 1\} = \iint_{x^2 y > 1} f(x, y) \, dx \, dy$
因为$f(x,y)=ce^{-x^{2}y}$，$c = 1$，所以$f(x,y)=e^{-x^{2}y}$，则：
$\iint_{x^2 y > 1} f(x, y) \, dx \, dy = \int_{1}^{\infty} \int_{\frac{1}{x^2}}^{\infty} e^{-x^2 y} \, dy \, dx$
先对$y$积分：
$\int_{\frac{1}{x^2}}^{\infty} e^{-x^2 y} \, dy = \left[-\frac{1}{x^2}e^{-x^2 y}\right]_{\frac{1}{x^2}}^{\infty} = \frac{e^{-1}}{x^2}$
再对$x$积分：
$\int_{1}^{\infty} \frac{e^{-1}}{x^2} \, dx = e^{-1} \left[-\frac{1}{x}\right]_{1}^{\infty} = \frac{1}{e}$