题目
(3)设灯泡的寿命Xsim N(mu,sigma^2)，灯泡厂从某日生产的灯泡中抽5个进行寿命试验，得到灯泡寿命(小时)数据如下：1050，1100，1080，1120，1200.①求mu和sigma^2的矩估计量和最大似然估计量(要写具体过程).②求该日生产的灯泡的平均寿命的最大似然估计值.
(3)设灯泡的寿命$X\sim N(\mu,\sigma^{2})$，灯泡厂从某日生产的灯泡中抽5个进行寿命试验，得到灯泡寿命(小时)数据如下：1050，1100，1080，1120，1200.
①求$\mu$和$\sigma^{2}$的矩估计量和最大似然估计量(要写具体过程).
②求该日生产的灯泡的平均寿命的最大似然估计值.
题目解答
答案
**① 求 $\mu$ 和 $\sigma^2$ 的估计量**
**矩估计量：**
样本均值 $\overline{X} = \frac{1}{5} \sum X_i = 1110$，
样本方差 $S^2 = \frac{1}{5} \sum (X_i - \overline{X})^2 = 2560$，
故 $\hat{\mu} = 1110$，$\hat{\sigma}^2 = 2560$。
**最大似然估计量：**
对数似然函数求导得 $\hat{\mu} = \overline{X} = 1110$，
代入得 $\hat{\sigma}^2 = \frac{1}{5} \sum (X_i - \overline{X})^2 = 2560$，
故 $\hat{\mu} = 1110$，$\hat{\sigma}^2 = 2560$。
**② 平均寿命的最大似然估计值**
$\hat{\mu} = 1110$。
\[
\boxed{
\begin{array}{ll}
\text{矩估计量和最大似然估计量：} & \hat{\mu} = 1110, \quad \hat{\sigma}^2 = 2560 \\
\text{平均寿命的最大似然估计值：} & 1110 \\
\end{array}
}
\]
解析
步骤 1：计算样本均值
样本均值 $\overline{X}$ 是所有样本值的平均值，计算公式为：
$$
\overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i
$$
其中 $n$ 是样本数量，$X_i$ 是第 $i$ 个样本值。将给定的样本值代入公式计算：
$$
\overline{X} = \frac{1}{5} (1050 + 1100 + 1080 + 1120 + 1200) = 1110
$$
步骤 2：计算样本方差
样本方差 $S^2$ 是样本值与样本均值之差的平方的平均值，计算公式为：
$$
S^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \overline{X})^2
$$
将给定的样本值和样本均值代入公式计算：
$$
S^2 = \frac{1}{5} [(1050 - 1110)^2 + (1100 - 1110)^2 + (1080 - 1110)^2 + (1120 - 1110)^2 + (1200 - 1110)^2] = 2560
$$
步骤 3：矩估计量
矩估计量是用样本矩来估计总体矩的方法。对于正态分布，样本均值 $\overline{X}$ 是总体均值 $\mu$ 的矩估计量，样本方差 $S^2$ 是总体方差 $\sigma^2$ 的矩估计量。因此，矩估计量为：
$$
\hat{\mu} = \overline{X} = 1110
$$
$$
\hat{\sigma}^2 = S^2 = 2560
$$
步骤 4：最大似然估计量
最大似然估计量是使似然函数取最大值的参数值。对于正态分布，最大似然估计量与矩估计量相同。因此，最大似然估计量为：
$$
\hat{\mu} = \overline{X} = 1110
$$
$$
\hat{\sigma}^2 = S^2 = 2560
$$
步骤 5：平均寿命的最大似然估计值
平均寿命的最大似然估计值就是总体均值 $\mu$ 的最大似然估计量，即：
$$
\hat{\mu} = 1110
$$
样本均值 $\overline{X}$ 是所有样本值的平均值，计算公式为：
$$
\overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i
$$
其中 $n$ 是样本数量，$X_i$ 是第 $i$ 个样本值。将给定的样本值代入公式计算：
$$
\overline{X} = \frac{1}{5} (1050 + 1100 + 1080 + 1120 + 1200) = 1110
$$
步骤 2：计算样本方差
样本方差 $S^2$ 是样本值与样本均值之差的平方的平均值，计算公式为：
$$
S^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \overline{X})^2
$$
将给定的样本值和样本均值代入公式计算：
$$
S^2 = \frac{1}{5} [(1050 - 1110)^2 + (1100 - 1110)^2 + (1080 - 1110)^2 + (1120 - 1110)^2 + (1200 - 1110)^2] = 2560
$$
步骤 3：矩估计量
矩估计量是用样本矩来估计总体矩的方法。对于正态分布，样本均值 $\overline{X}$ 是总体均值 $\mu$ 的矩估计量，样本方差 $S^2$ 是总体方差 $\sigma^2$ 的矩估计量。因此，矩估计量为：
$$
\hat{\mu} = \overline{X} = 1110
$$
$$
\hat{\sigma}^2 = S^2 = 2560
$$
步骤 4：最大似然估计量
最大似然估计量是使似然函数取最大值的参数值。对于正态分布，最大似然估计量与矩估计量相同。因此，最大似然估计量为：
$$
\hat{\mu} = \overline{X} = 1110
$$
$$
\hat{\sigma}^2 = S^2 = 2560
$$
步骤 5：平均寿命的最大似然估计值
平均寿命的最大似然估计值就是总体均值 $\mu$ 的最大似然估计量，即：
$$
\hat{\mu} = 1110
$$