题目

17.设随机变量X与Y相互独立，且EX=2，DX=1，EY=1，DY=4，求U=X-2Y与V=2X-Y的相关系数rho_(UV)。

17.设随机变量X与Y相互独立，且$EX=2$，$DX=1$，$EY=1$，$DY=4$，求U=X-2Y与V=2X-Y的相关系数$\rho_{UV}$。

题目解答

答案

为了求出随机变量 $ U = X - 2Y $ 和 $ V = 2X - Y $ 的相关系数 $\rho_{UV}$，我们需要使用相关系数的公式： \[ \rho_{UV} = \frac{\text{Cov}(U, V)}{\sqrt{\text{Var}(U) \text{Var}(V)}} \] 首先，我们需要计算 $ U $ 和 $ V $ 的协方差 $\text{Cov}(U, V)$。协方差的定义是： \[ \text{Cov}(U, V) = E[(U - EU)(V - EV)] \] 由于 $ U = X - 2Y $ 和 $ V = 2X - Y $，我们首先需要找到 $ EU $ 和 $ EV $： \[ EU = E[X - 2Y] = EX - 2EY = 2 - 2 \cdot 1 = 0 \] \[ EV = E[2X - Y] = 2EX - EY = 2 \cdot 2 - 1 = 3 \] 现在，我们可以将 $ U $ 和 $ V $ 的期望值代入协方差的定义中： \[ \text{Cov}(U, V) = E[(X - 2Y - 0)(2X - Y - 3)] = E[(X - 2Y)(2X - Y - 3)] \] 为了简化计算，我们可以使用协方差的性质 $\text{Cov}(U, V) = E[UV] - EU \cdot EV$。由于 $ EU = 0 $，我们有： \[ \text{Cov}(U, V) = E[UV] \] 现在，我们计算 $ E[UV] $: \[ E[UV] = E[(X - 2Y)(2X - Y)] = E[2X^2 - XY - 4XY + 2Y^2] = E[2X^2 - 5XY + 2Y^2] \] 使用期望的线性性质，我们得到： \[ E[UV] = 2E[X^2] - 5E[XY] + 2E[Y^2] \] 由于 $ X $ 和 $ Y $ 相互独立， $ E[XY] = E[X]E[Y] $。因此： \[ E[XY] = 2 \cdot 1 = 2 \] 我们还需要 $ E[X^2] $ 和 $ E[Y^2] $。使用方差的定义 $ \text{Var}(X) = E[X^2] - (EX)^2 $，我们得到： \[ E[X^2] = \text{Var}(X) + (EX)^2 = 1 + 2^2 = 5 \] \[ E[Y^2] = \text{Var}(Y) + (EY)^2 = 4 + 1^2 = 5 \] 将这些值代入 $ E[UV] $ 的表达式中，我们得到： \[ E[UV] = 2 \cdot 5 - 5 \cdot 2 + 2 \cdot 5 = 10 - 10 + 10 = 10 \] 因此，协方差 $\text{Cov}(U, V)$ 是 10。 接下来，我们需要计算 $ U $ 和 $ V $ 的方差 $\text{Var}(U)$ 和 $\text{Var}(V)$： \[ \text{Var}(U) = \text{Var}(X - 2Y) = \text{Var}(X) + (-2)^2 \text{Var}(Y) = 1 + 4 \cdot 4 = 17 \] \[ \text{Var}(V) = \text{Var}(2X - Y) = 2^2 \text{Var}(X) + (-1)^2 \text{Var}(Y) = 4 \cdot 1 + 1 \cdot 4 = 8 \] 现在，我们可以计算相关系数 $\rho_{UV}$: \[ \rho_{UV} = \frac{\text{Cov}(U, V)}{\sqrt{\text{Var}(U) \text{Var}(V)}} = \frac{10}{\sqrt{17 \cdot 8}} = \frac{10}{\sqrt{136}} = \frac{10}{2\sqrt{34}} = \frac{5}{\sqrt{34}} = \frac{5\sqrt{34}}{34} \] 因此，相关系数 $\rho_{UV}$ 是： \[ \boxed{\frac{5\sqrt{34}}{34}} \]

解析

本题考察随机变量相关系数的计算，解题思路如下：

步骤1：明确相关系数公式

相关系数$\rho_{UV}$的定义为：
$\rho_{UV} = \frac{\text{Cov}(U, V)}{\sqrt{\text{Var}(U) \cdot \text{VarVar}(V)}}$
其中，$\text{Cov}(U, V)$为协方差，$\text{Var}(U)$、、$\text{Var}(V)$分别为$U$和$V$的方差。

步骤2：计算$EU$和$EV\text{Var}(U)$

已知$U = X - 2Y$，且$X$与$Y\text{Var}(Y)$独立：

  • 期望$EU$：利用期望的线性性质
    $EU = E[X - 2EY = 2 - 2 \times 1 = 0$
  • 方差$\text{Var}(U)$：利用方差性质（独立变量的线性组合方差为方差的加权和）
    $\text{Var}(U) = \text{Var}(X) + (-2)^2\text{Var}(Y) = 1 + 4 \times 4 = 17$

步骤3：计算$EV$和$\text{Var}(V)$

已知$V = 2X - Y$：

  • 期望$EV$：
    $EV = 2EX - EY = 2 \times 2 - 1 = 3$
  • 方差$\text{Var}(V)$：
    $\text{Var}(V) = 2^2\text{Var}(X) + (-1)^2\text{Var}(Y) = 4 \times 1 + 1 \times 4 = 8$

步骤4：计算协方差$\text{Cov}(U, V)$

协方差性质：$\text{Cov}(U, V) = E(UV) - EU \cdot EV$，因$EU=0$，故$\text{Cov}(U, V) = E(UV)$：

  • 展开$UV = (X - 2Y)(2X Y)$：
    $UV = 2X^2 - XY - 4XY + 2Y^2 = 2X^2 - 5XY + 2Y^2$
  • 计算$E(UV)$（利用独立则$E(XY)=EX \cdot EY$）：
    $E(X^2) = \text{Var}(X) + (EX)^2 = 1 + 4 = 5$
    $E(Y^2) = \text{Var}(Y) + (EY)^2 = 4 + 1 = 5$
    $E(UV) = 2 \times 5 - 5 \times(2 \times1) + 2 \times5 = 10 - 10 + 10 = 10$
    故$\text{Cov}(U, V) = 10$。

步骤5：计算相关系数$\rho_{UV}$

代入公式：
$\rho_{UV} = \frac{10}{\sqrt{17 \times8}} = \frac{10}{\sqrt{136}} = \frac{10}{2\sqrt{34}} = \frac{5}{\sqrt{34}} = \frac{5\sqrt{34}}{34}$