题目

例1 在一汽车工厂中,一辆汽车有两道工序是由机器人完成的.其一是-|||-紧固3只螺栓,其二是焊接2处焊点.以X表示由机器人紧固的螺栓紧固得不-|||-良的数目,以Y表示由机器人焊接的不良焊点的数目.据积累的资料知(X,Y )-|||-具有分布律:-|||-X-|||-Y 0 1 2 3 Y=j -|||-0 0.840 0.030 0.020 0.010 0.900-|||-1 0.060 0.010 0.008 0.002 0.080-|||-2 0.010 0.005 0.004 0.001 0.020-|||- X=i 0.910 0.045 0.032 0.013 1.000-|||-(1)求在 =1 的条件下,Y的条件分布律;(2)求在 =0 的条件下,X的条-|||-件分布律.

题目解答

答案

解析

考查要点：本题主要考查条件分布律的计算，需要根据联合分布律和边缘分布律，利用条件概率公式求解。

解题核心思路：

  1. 条件概率公式：在已知某一变量取值的条件下，另一变量的条件分布律等于联合概率除以条件变量的边缘概率。
  2. 关键步骤：
    • 确定条件变量的边缘概率（如$P(X=1)$或$P(Y=0)$）。
    • 找出满足条件的联合概率（如$P(X=1,Y=k)$或$P(X=k,Y=0)$）。
    • 代入公式计算各可能取值的条件概率。

破题关键点：

  • 准确查找表格中的数值，避免混淆行和列。
  • 验证概率和为1，确保计算正确。

第（1）题：求在$X=1$的条件下，$Y$的条件分布律

步骤1：确定$P(X=1)$

根据表格边缘分布，$P(X=1) = 0.045$。

步骤2：计算各$Y=k$的条件概率

  • $Y=0$：
    $P(Y=0|X=1) = \frac{P(X=1,Y=0)}{P(X=1)} = \frac{0.030}{0.045} = \frac{6}{9}$
  • $Y=1$：
    $P(Y=1|X=1) = \frac{P(X=1,Y=1)}{P(X=1)} = \frac{0.010}{0.045} = \frac{2}{9}$
  • $Y=2$：
    $P(Y=2|X=1) = \frac{P(X=1,Y=2)}{P(X=1)} = \frac{0.005}{0.045} = \frac{1}{9}$

验证概率和为1：

$\frac{6}{9} + \frac{2}{9} + \frac{1}{9} = 1$

第（2）题：求在$Y=0$的条件下，$X$的条件分布律

步骤1：确定$P(Y=0)$

根据表格边缘分布，$P(Y=0) = 0.900$。

步骤2：计算各$X=k$的条件概率

  • $X=0$：
    $P(X=0|Y=0) = \frac{P(X=0,Y=0)}{P(Y=0)} = \frac{0.840}{0.900} = \frac{84}{90}$
  • $X=1$：
    $P(X=1|Y=0) = \frac{P(X=1,Y=0)}{P(Y=0)} = \frac{0.030}{0.900} = \frac{3}{90}$
  • $X=2$：
    $P(X=2|Y=0) = \frac{P(X=2,Y=0)}{P(Y=0)} = \frac{0.010}{0.900} = \frac{1}{90}$
  • $X=3$：
    $P(X=3|Y=0) = \frac{P(X=3,Y=0)}{P(Y=0)} = \frac{0.010}{0.900} = \frac{1}{90}$

验证概率和为1：

$\frac{84}{90} + \frac{3}{90} + \frac{1}{90} + \frac{1}{90} = 1$